以上的答案已经把空调的原理阐述的非常明了了，但是对于「变频」二字的理解，还稍微欠缺了一点。
首先的首先，我们要明确，变频的直接目的是要改变压缩机内电动机的转速。
学过一点电力电子变流与电力拖动方面的东西，又查了一些资料，所以关于这个问题，我不自量力地从整流电路和电动机这两个方面回答一下题主的疑惑，如果有纰漏，还望各位多多指正。
要讲的东西比较多，可能比较混乱，我尽量简单点说。
现在市面上所谓的「变频空调」其实已经有了两个分支了，即所谓「交流变频」和「直流变频」，交流变频早于直流变频出现。但是在这里有必要说一下，所谓的「直流变频空调」，可以用高中的知识来判断：这是一个伪概念。试想，直流电哪来的频率？故而，「直流变频」的概念，只是当年为了傍上「变频空调」这棵大树而硬造出来的营销词汇，比较准确的名称应该是「直流调速空调」。
但是，为了各位阅读方便，本答案中「交流变频」和「直流调速」两种空调仍旧统称为「变频空调」，而与「变频空调」相对的，是普通的，廉价的（但不得不说稳定性更高，且我个人认为没有太大的劣势）「定频空调」。
接下来我将试图从压缩机的原理上来回答一下问题，变频空调是否更省电我不做评论，以我的知识体系，无法判断。就算更省电，在大部分变频空调的价格面前，没有意义。
至于噪音，我的结论是：会变小，但是意义不大。因为，变小的是室外机的噪音，室内机的噪音不会变小。
空调的原理，高票答案已经说的非常通透了，有图有真相，我就不赘述了。
先说「交流变频」空调。
看完以上答案，想必诸位已经知道「压缩机」这个空调中的重要部件了吧，在压缩机这个部件之内，最重要的部件有两个：电动机和活塞，活塞在这里按下不表，我们来说一下电动机。
「定频空调」的压缩机，一般采用的是单相异步交流电动机。
这种电动机的运行规律之一是：电源频率高，转速快，电源频率低，转速慢。
首先我们来解释一下交流电动机的原理：在定子线圈中通入交流电，因为电流不断交变，因此定子线圈会产生一个不断交变的磁场，而处在磁场中的转子，会因为切割磁感线而产生电动势，进而产生电流。定子里产生了电流，又处在磁场中——对了，安培力！这样，不断旋转的磁场就会通过安培力推着转子转动啦！
以下就是交流电动机的原理，图片来自百度，画的是三相交流电动机，只显示了磁场的转动，没有画出转子，工作时，转子的转动方向是和磁场的转动方向一致的。
而之所以叫异步电动机，是因为：转子的转速永远赶不上磁场的转速，原因也很简单，如果转子和磁场同步，转子就不会“切割磁感线”啦，这样一来，哪里来的电动势？没有电动势就没有电流，没有电流就没有安培力……
磁场的转速又叫理论转速（一般记为n0），是这样计算的（以三相异步电动机为例）：
n0=60f/p
f是电压的频率，电网中的频率都是50Hz，p是电机磁极对数。
而家用（之所以说家用，是为了区分大型场所空调，那种会使用三相异步交流电动机）定频空调的单相交流异步电动机，接线方式如图所示：
看得出来，十分简单，因此技术成熟，可靠性高，成本低，就是它的优势所在。
所谓单相，是指用的是一路220V，50Hz的交流电，即我们家里插座里的那种电。
电压波形是这样的：
对，就是普通正弦波。
以上，就是定频空调常用的电动机，一般来说，无法调速，即只能按照一个特定的速度运转，要么停，要么转。
好了，以上是「定频空调」的电动机及电路原理。
最早的时候，变频空调，确切的说是交流变频空调，使用的是三相异步交流电动机。
所谓的三相电：
三相电简单来说，就是三路不同步（当然不同步，同步的话就可以合成一路了）的单相电，相角相差120度。
有理工基础的人一定会问，明明我们所用的市电是单相220伏的，怎么可能会设计出使用三相交流电机的空调？这个问题就引出了「变频电源模块（电力电子变流技术中往往称其为『交流变频器』）」这个东西了，但它却拥输入直流电，输出可变频的三相交流电的能力。
再解释一下直流电是从哪里来的——
在电网中的单相交流电流入变频电源模块之前，还经过了一个整流桥，详细名称应该是单相桥式整流电路，如图：
（只关注那四个二极管的连线以及位置，不必在意左侧的变压器和右侧的负载）
电流流过整流桥之后，电压的波形是这样的：
再加一个稳压电容，就成为了基本可用的直流电了（虽然有波动，但电机的要求没这么高！！这不是玩Hi-Fi）。
（画着一个二极管的方框就代表整流桥，虚线框出来的部分，就是变频模块，包括CPU和六个IGBT——绝缘栅双极型晶体管，一种可以通过电压控制导通与关断的半导体器件，诸君理解成开关就好了）
接下来才是变频的关键：把输入进来的直流电，分成三路，分别控制它们的通断时间，造成一种类似于三相电的效果：
也许有的同学会有疑问：这种方头方脑的波形，也叫交流电？的确，交流电机不怎么挑食的，这样的波形，对于家用电机来说完全没有问题。而且，不要以为只有正弦波形才是交流电啊摔！！！
当改变导通的周期（也就是改变了公式中的f）时——如我们所愿，三相电动机中，磁场的转速n0改变了，所以转子的转速也随之改变——这就是早期「交流变频空调」的变频原理。
最为简单的「交流变频空调」的原理已经阐述完了。
接下来我们要说的，是电机上的改进。老的变频空调，使用的是异步电动机，而新一点的变频空调，开始使用永磁体同步电动机了。
在这之前先解释一下什么叫「同步电动机」：
同步电动机其实和异步电动机在结构上没有太大的差别，异步电动机的转子是不接电源的，也正是因此，才导致了转子的速度永远赶不上磁场的速度。
而同步电动机的转子，也是通电的，转子上就产生了南北极，这样，可以使转子不必非得与磁场产生转速差才能获得力矩。所以转自的转速可以等于磁场的转速，即转速同步，所以得名同步电动机。
同步电动机的特性曲线非常好，调速简单。
原理如图：
（注意中间转子也是有极性的）
空调里应用的同步电动机，转子不需要通电，只需要贴上永磁体（就是磁铁啦）。
同步电动机在变频空调中的应用，获得了更好的调速性能，还有更小的噪音，因为定子上没有了线圈，所以减弱了一部分电磁噪音。
以上，就是所谓「交流变频空调」大致上的原理，包括交流变频的原理与电动机的原理都已经说明了，不知道诸君是否明白，如果有什么指正或者疑问，欢迎在评论里留言交流。
接下来，让我们说一下有关「直流变频空调」的原理。
「直流变频空调」的原理是：输出可调的直流电压，以改变电机的转速。
首先，来看看，直流变频空调所使用的整流电路，是如何实现输出可调的直流电压的。这个电路的原理比较简单，名字叫直流斩波器。
需要注意的是，虚线框出来的部分，不是真实的电路，而是一个模型。
真正的电路，可以把开关S用一个可以自关断的器件代替，比如IGBT，再加上一些用于稳压的电容电感就可以了。
为什么这样的电路可以实现调节电压呢？原因很简单：自关断器件的开关频率是非常快的，但频率并不发生变化。改变在一个周期内，开关开启与关断的时间，就可以改变输出的平均电压，正如这个公式所示：
Uo=(Ton/Ts)*Ud=D*Ud
其中，Uo是输出电压，D是占空比。改变占空比，即改变了输出的平均电压，由此改变了转速。
在这里说一说「直流变频空调」所使用的电机——直流无刷电机。
在此之前先介绍一下直流有刷电机：这应该是原理最简单的一种电机了：
直流电机的运行规律很简单：电压高，转速快，电压低，转速慢。
在这张图中，我们应该注意的是编号A、B的那两个装置：电刷和换向器，有了这两个部件才能使电机一圈圈地转，作用主要是变换转子电流的方向，没有它们，转子只能停在一个位置。
在直流电机的运行过程中，电刷和换向器之间的摩擦，造成了电机绝大部分的噪音，因此空调是万万不能选用传统直流电机的，要不然非得被邻居投诉不可。
因此，空调内的电机就只能选用直流无刷电机了，要说这无刷电机也简单，把本来用机械手段换向的转子电流，改成了由半导体器件开关换向，光是这样还不行，还得把定子和转子翻个个儿，定子转起来，转子停下来，要不然还得有摩擦器件。
于是乎就有了定子线圈在外，永磁体转子在内的设计……对，没错，丫几乎就是一同步交流电动机……可谓是殊途同归啊。不过，直流无刷电机比同步交流电机多了位置传感器，这是电子换向的基础。
好了，到此为止，「交流变频空调」和「直流变频空调」都已经讲完了，因此这个答案也算是告一段落了。
接下来是关于空调噪音的分析，假设一切零部件质量合格，噪音来自以下几个方面：
（噪音部分在最后的update中有神转折，详情在末尾）
1，电磁噪音，这个是客观存在并且无法消除的，比如说变压器的嗡嗡声，电机里因为有许多线圈，必然产生电磁噪声。
2，摩擦部件，这个主要不在电机上（电机的摩擦部件只有转子和电机外壳接触的地方，有轴承，不会有太大的噪音），而体现在活塞之类的地方。
3，转子质量分布不均匀，使得转动有噪音产生，且与转速有关。
4，风声。
来看一看刚才提到的四种电机各自的噪音来源：
定频空调：转子可能有电磁噪声，定子一定有，摩擦器件只有转子与电机壳体接触部分，另外转子结构简单，转速恒定，应该不会有太大的噪声起伏，且噪声不会太大。
使用异步电动机的交流变频空调：除了转速外完全同上，当转速很快时，有可能发出较大的噪声，当转速很慢时，可能噪声较小。
使用同步电动机的交流变频空调：转子没有电磁噪声，其余一切与使用异步电动机的交流变频空调相同。
使用无电刷直流电机的直流变频空调：一切同上。
综上可见，其实各种空调由电机引起的噪声差别并不算太大。活塞噪声，风声等噪声，才是空调噪声的主流。但这几种噪声，与该空调是否是「变频空调」毫无关系，只有低速时，变频空调的「低噪声」性能才可能有所体现。
另外请注意：压缩机是在室外的，所以噪声大小在室内差别不明显。
其实根据我多年使用空调的经验，空调噪声大，多半是因为——
质量问题或者外挂机安装不水平。
以上！！题主HP已为负值，睡觉去！！！
————————————————9月3日update——————————————————
没想到昨晚刚刚回答完这个问题，今早就上了「交流电机变频调速」的实验科目，简直不能再巧合！！
于是更新几张图：
前文中提到的整流桥，注意是三相的，因为有六个二极管：
（请注意那大概一毫米粗的引脚，以及比拇指长，三根拇指粗的滤波电容……好大）
直流电动机的电刷，黑色的部分是石墨，极大的减小了摩擦力，但是尽管如此直流电动机转起来的噪音还是略大，尤其是高速旋转的时候——
左侧为并励直流电动机，右侧为三项异步交流电动机：
（注意直流电机右侧那两个像饮料瓶盖一样的东西，拧开就可以把电刷拿出来。）
三线异步电动机，鼠笼式，功率只有一百八十瓦，最为简单的交流电机形式，结构基本与「定频空调」中的单相异步交流电动机差不多。
试验台上的电源模块，可以输出可变频的三相交流电，以及矢量控制驱动信号（矢量控制是如今空调电机调速的主流，可以运用于直流无刷电机和交流同步电机，算法比较复杂，答案中没有介绍）
接下来，讲一下噪音的神转折：
这一台三相异步交流电动机，竟然在低速下的噪音高于高速下的噪音！
前文中已经说了，异步电机的噪音来源有摩擦部件和电磁噪音，来说一说我的现场感受：
高速运行下，几乎听不到噪音，比我们小时候玩的四驱车里的小电机的噪音，小！！多！！了！！！
而电源频率低于10Hz的时候，噪音很大，震动剧烈，电机发出「喀喀喀」的声音。
至于这一点的原因，我的猜测是这样的：低速情况下，磁场的变化很不平稳，不再是平稳的转动而是脉冲式的转动，因此，电机的输出转矩也不是一个常数，也是一波一波的脉冲式的，这样一方面会造成比较大的机械噪音，另一方面会造成比较大的电磁噪音。
这样看来，变频空调低速条件下能否实现低噪音，还真是一个值得怀疑的问题呢！
