从课堂里生长出来的“问题链”
——“小数除法”教学实录与赏析
执教/吴正宪 赏析/陈春芳 金千千
一、情境引入，提出问题出示主题图，如图1。
图1
师：妈妈用100元买了4本《格林童话》，收银员找回3元。看到这些信息，你最想知道什么？生：买4本书一共用了多少钱？生：1本书多少钱？师：买4本书用了多少钱呢？生：100减3等于97元。师：这个问题轻而易举地被你们解决了，那1本书多少钱？你们想自己试试吗？解决问题的过程中你遇到了什么困难和困惑？愿意分享吗？赏析：老师把独立尝试解决问题的机会给了学生，把可能“犯错误”的机会给了学生，也就是把自我反思、自我觉悟的机会给了学生。课堂上，学生开始思考、尝试。老师巡视，为后继学习的展开捕捉样本。（学生写出几乎同样的算式，如图2）
图2师：1本 《格林童话》多少钱？生：24元余1元。师：（若有所思状，反复说着）1本 《格林童话》24元余1元，1本 《格林童话》24元余 1元……生1：就是比24元多一些。生2：（疑惑地）这个数好像不准确啊。生3：（急切地）我们要是就买1本《格林童话》，到底要给售货员多少钱呀？师：是啊，1本《格林童话》到底是多少钱呀？（众生皱眉、无语，教室里安静下来）师：问得好，买1本《格林童话》到底要给售货员多少钱呢？这就是这节课我们要研究的问题。每本书是24元余1元。余下的1元，按照过去学过的有余数除法，计算到这就结束了。现在你们又都在追问：“1本《格林童话》到底多少钱啊？”你们有办法解决吗？赏析：买4本书，交100元找回3元，这样的生活情境，学生熟悉得不能再熟悉了，而它又的的确确是一个现实问题。用这样一个真实的生活情境引发学生的真问题、真需求，自然而然地从原来学过的有余数的整数除法，过渡到新需求、新问题“1本《格林童话》到底多少钱”的小数除法。二、在问题解决中感悟算理1.在“分1元”的过程中，感悟“分”的道理。师：刚才在“写除法算式”的过程中你们有什么困惑？遇到了什么困难？生1：这1元平均分成4份，根本分不了。（生着急地说出自己的困惑）师：分不了是什么意思？生 2：只余下 1元，要平均分给4本书，每本书没法分到整1元了。生3：就是余下的1元钱不好办了，如果给了其中1本，其他3本就不干了。我真不知道这1元钱该怎么分了。谁来帮帮我？师：呵呵，余下的这 1元钱该怎么分呢？你们不想自己试试吗？（师提供了元、角、分的学具。生尝试解决问题，师巡视，为后继的讨论捕捉样本。汇报开始，师在实物投影上按顺序呈现出学生作品）生1的方法如图3。
图3生2的方法如图4。
图4生3用直观图解释分的过程，如图5。
图5生4利用文字表达出“继续分”，如图6。
图6（生观察后开始互动交流，师鼓励大家互相提问）生4：我想问生3，你画的这个大圆表示什么？生3：这个大圆表示1元。生4：10个小圆又表示什么？生3：10个小圆就是10角。师：生3是把1元变成了——生：10角。师：有问题吗？生 5：可是把 10角分给 4本书还是分不完啊。生3欲解释，老师拦住了说：“不急，其他同学能读懂生3的意思吗？”生6：我看出来了，一本书分到 2角，4本书就分走了 8角，还剩2角又不够分了。生3又把2角换成了20分，20分分给4本书，每本分到5分。终于分完了。所以一本《格林童话》的价格是24元2角5分。生6说完后，紧紧盯着老师，似乎刚才讲的这一切都要从老师这里得到结论。此时，老师巧妙地一转身说：“这个问题不是我问的。”生6醒悟过来，主动转向生3自信地说：“我讲的是你的意思吗？”生3满意地点头同意。师：这里展示的作品中，哪位同学的与生3的意思相似呢？生：（齐）生2的算式和生3分的过程是一样的。师：这个过程真值得分享。这两位同学都是把1元换成了10角。谁愿意借助黑板上的元、角、分，一边回顾刚才分的过程一边分一分？（师请一位还没机会表达的同学作补充发言，黑板上逐步出现图7）
图7赏析：整个教学环节一直围绕着整数除法谈小数除法，围绕着学生在解决问题中出现的困惑而展开。出现1元怎样分？又多出2角,怎样分？产生分的需要，感悟分的过程，理解分的道理。在不断提出的问题链中，感悟到除法就是不断地 “平均分”。生7：我认为生1的方法简单。1元平均分成4份，不够分了。把1元换成100分，直接把100分平均分成4份，每本书就是24元25分。师：你们真有办法，不管是把1元变成100分再去分,还是把1元变成10角再去分,或者用直观的图表示分的过程，都是你们自己解决了“1本《格林童话》到底多少钱”的问题。佩服！（众生脸上都露出了微笑）师：还有问题吗？生8：我还是想问问生3，你为什么不把1元换成100分，却换成10角啊？生3：我想试试。师：你们觉得这样的“试试”有道理吗？（众生若有所思。有人高高地举起了手。老师一句“不急”，又一次给了学生思考问题的机会）师：还有问题吗？生：没有了！师：你们真的没有问题了吗？我可还有问题呢。我想问问生1，1元等于100分，这我们大家都知道，可是你怎么想到把1元变成了100分呢？生1：您看1元平均分成4份不够分了，就得想办法呗。师：你想的办法真好，我明白了。在老师的启发下，又一位同学站起来，模仿着老师发问：我想问问生3，1元等于10角，这我们大家都知道，可是你是怎么想到把1元变成 10角的呢？……一波未平一波又起，问题链就这样在问题的解决中生长起来，越问越有意思。“新问题”来了。不知哪个学生似乎有些“情绪”地提出又一个新问题：“大家倒是解决了一本书多少钱的问题，那以后是不是总得这样分呀，换呀，太麻烦了吧？”师：这个问题问得好！那么大家有什么好办法呢？生：有没有简单的方法呢？生：能不能直接用数算呢？生：能不能也像过去学习的除法，把这个分的过程合在一个算式里呢？2.在竖式中再次体会“分”的过程，感悟小数除法的算理。师：请一位同学（书写生）到黑板前试着记录分的过程。到底怎样用一个算式来表示分的过程呢？这位同学一边记录，大家一边思考，可以随时提出问题。
图8生1：余下的明明是“1”元，怎么在这里是“10”呢？书写生：1元不够分了，刚才我们不是把这1元换成10角了吗？这里的“10”就是10角啊。生1：噢，我看懂了，这样又可以继续分。
图9书写生：每本书分 2角，4本书就分走了 8角，又剩下 2角，又不够分了，怎么办呢？谁看懂我写的算式的意思了？生 2：你把 2角换成了 20分，再接着分。每本又分了5分，正好分完。书写生：对啦！生 3：每本书就是 24元 2角5分。师：同学们看懂了吗？这样记录分的过程怎么样？生：（齐）真简单！师：还有问题吗？生：（齐）没有了。师：真的没问题啦？此时，有个别学生举起了手。老师又一句“不急”，给了更多同学再思考的机会，等待更多同学有感悟，结合分的过程理解竖式的书写过程。片刻的沉默之后，又有学生提出问题。生 4：好像有点不对头啊，商是2425元啊。书写生：我算的结果不是2425元，就是24元2角5分啊。师：人家的心里算得的结果就是24元2角5分嘛。生5：可是你心里的事，我们却看不出来啊。师：是啊，你的事你知道，我们不知道啊。数学是大家共同交流的语言，怎么让大家一目了然呢？你们就没办法了吗？生6突然从位子上走到黑板前，在“2425”中间点上一个圆圆的“小数点”，如图10。
图10生7：为什么要在中间点上这个小数点？师：问得真好。生6：小数点的左边是24元，右边是2角5分，它把元与角、分给分开了。所以在中间加上这个小数点，我们就不会看混了。师：这个小数点非要写上吗？不写不行吗？生：（齐）不行，如果不写就看成2425元了。师：（凝望着小数点，自言自语）小数点啊小数点，当我们需要你的时候，你就来啦。你往这儿一站（以自己为参照），这边就是元，那边就是角和分，一目了然。小数点就像定海神针，往这里一站，左边和右边的“辈分”就清清楚楚啦。（转身面向学生）你们就不想对小数点说点什么吗？生：小数点你真厉害！你来了就一目了然！小数点没有你还真麻烦！赏析：教师借助真实的问题情境，在学生一个一个的问题链中，用原来的旧知识、旧经验，把这余下的 1元钱的事解决了。在不断换钱的过程中，学生直观形象地理解了道理。有学生问能不能用一个式子来表达。解决一个问题，又生长出一个新问题。孩子们在解决新问题的过程中交流，体会到了小数点定海神针般的作用。所有这些问题都从学生中来，一个学生获得数学学习动力的重要的因素是他对数学问题持之以恒的思考和追问。学习的真正发生，一定源于思考真正发生时。三、逐步抽象，建立模型（师出示：51÷2。生独立解答，一个学生在黑板上板书，如图11）
图11师：商的这个小数点一定要写吗？生：（齐）一定要写。师：你们为什么这么坚定地说一定要写？生1：不写小数点，就变成255，容易混乱。生2：因为如果不写就改变了商的结果。师：（提出新要求）你能用讲故事的方式，解释一下这个竖式的意思吗？生 3：我用 51元买了 2个皮球，每个皮球是25元，余了1元。这1元，给这个皮球不成，给那个皮球也不成。不够分了，我就要把1元换成10角，每个皮球再分5角。结果是25元5角。师：能用小数叙述结果吗？生3：每个皮球25.5元。生4：我用51元买了2个文具盒……师：咱们不讲买东西的故事了，换个内容好吗？生5：我把51米绳子平均分给2个伐木工人，每人得到多少米的绳子？……师：（擦掉了黑板上的 “元、角、分”“米、分米、厘米”，又抛出新问题）不许分东西了，只能分“51”。生6：“51”是什么？生：（齐）是数啊。师：是51个——生：（齐）1。师：你们就来讲分51个1的故事吧。生7：51个1怎么分啊？师：是啊，谁能讲分“数”的故事呢？生8：把 51个1，平均分成2份，每份是25个1，余1个1。不够分了，就把1个1换成10个0.1，每份分到5个0.1。结果是25.5。师：有道理吗？生：（齐）有。生 9：就是把剩下的“1”切开。师：“切开”这个词用得好。（平均）切成几份？生：（齐）切成 10份，“1”就变成 10个“0.1”，又够分了，结果是25.5。师：这个小数点一定要点吗？生10：没有小数点，就不知道这个5是5个1还是5个0.1了。师：呵呵，有了这个“定海神针”，就知道每个数站在什么位置上了。此时，我们该给小数点——生：（齐）敬礼！记功！赏析：借助真实的情境，学生在不断提出的问题链中，理解了当有余数的时候就可以继续分下去。“51÷2”的故事已经跳出了“元、角、分”“米、分米、厘米”的模型，最终落到了数学的本质分“计数单位”。这是一个由具体到抽象，再由抽象到具体的认知过程。学生充分感受到了小数除法的本质。学生兴奋地要给小数点致敬和记功。这些源自学生内心真实的感受，源自他们不断提出问题、解决问题的学习过程。四、“问题链”在这里延伸生 1：（若有所思）老师，如果还有余数没分完怎么办啊？师：（又一次把“球”踢给学生）是啊，你们说说该怎么办。生：（齐）接着分呗。生1：如果还没分完怎么办啊？生：（齐）还接着分呗。生2：会不会永远也分不完呢？生 3：老师，这样会不会出现“螺旋小数”啊？师：（笑）是啊，你的问题真值得思考。说不定在后面的学习中，我们真会遇到 “螺旋小数”呢。老师请学生为这节课起个名字。学生异口同声叫“分、分、分”。师：下课！生 4：老师，我还有一个问题，如果遇到除数不是2，是0.2该怎么计算啊？没等老师反应过来，一个学生站了起来说：0.2要是2多好呀!师：我也这么想过，那就变成2吧。生 5：不行，那样商就该变了。……师：下课。吴老师又一次宣布下课。几个学生围过来继续讨论，竟然有学生提出能不能根据商不变的规律来计算。令我们难忘的是一位小姑娘走到吴老师身边轻轻地说“我舍不得您……”在场的每一位老师同样被感动着。学生们带着思考结束了不断发现问题、解决问题的数学学习。赏析：从有余数的整数除法因需求变成更精准的小数除法，孩子们问题不断，思考不断。他们在不断发现新问题、提出新问题、解决新问题中感受到分下去、继续分下去的极限思想。生动的语言容易理解，深入浅出的注解，让孩子们比较深刻地理解了小数除法的本质。课堂上，吴老师自然而然地进入了儿童的话语系统，陪伴着孩子们从头到尾地思考，顺应孩子们的思维而导，与孩子们的情绪自然合拍。一节课的结束，带给孩子们的不是终止，而是对于小数除法再一次的思考。（作者单位：北京教育科学研究院，北京市顺义区石园小学，北京市顺义区杨镇中心小学校）声明：本文发表于《小学教学》数学版第7-8期，版权归相关权利人所有，如果需转载请注明出处。
