同济大学数学系《高等数学》（第7版）（上册）笔记和课后习题（含考研真题）详解_精勤学习网
一、映射与函数
1函数
（1）函数的性质（见表1-1）
表1-1函数的性质
（2）反函数与复合函数
①反函数的特点
a．函数f和反函数f－1的单调性一致。
b．f的图像和f－1的图像关于直线y＝x对称。
②复合函数
g与f能构成复合函数f°g的条件是：f的定义域与g的值域的交集不能为空集。
（3）函数的运算
设函数f（x），g（x）的定义域为Df，Dg，且定义域有交集为D，则可定义这两个函数的下列运算
和（差）f±g：（f±g）（x）＝f（x）±g（x），x∈D。
积f·g：（f·g）（x）＝f（x）·g（x），x∈D。
商f/g：（f/g）（x）＝f（x）/g（x），x∈D\{x|g（x）＝0，x∈D}。
（4）初等函数
5类基本初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。
二、数列的极限
1数列极限的定义
数列{xn}收敛于a⇔
⇔∀ε＞0，∃正整数N，当n＞N时，有|xn－a|＜ε。
数列{xn}是发散⇔
不存在。
2收敛数列的性质
（1）唯一性
如果数列{xn}收敛，则它的极限唯一。
（2）有界性
如果数列{xn}收敛，则数列{xn}一定有界。
①有界数列：存在正数M，使得对于一切xn都满足不等式|xn|≤M。
②无界数列：不存在正数M，使得对于一切xn都满足不等式|xn|≤M。
（3）保号性
如果
，且a＞0（或a＜0），则存在正整数N＞0，当n＞N时，都有xn＞0（或xn＜0）。
推论：如果数列{xn}从某项起有xn≥0（或xn≤0）且
，则a≥0（或a≤0）。
（4）收敛数列与其子数列间的关系
①如果数列{xn}收敛于a，则它的任一子数列也收敛，且极限也是a。
②如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，则数列{xn}是发散的。
③一个发散的数列也可能有收敛的子数列。
三、函数的极限
1函数极限的定义
（1）函数f（x）极限的两种情形
①自变量x趋于有限值x0时函数的极限
只有
及
都存在并且相等时，x→x0时极限存在。
②自变量x趋于无穷大时函数的极限
⇔∀ε＞0，∃δ＞0，当|x|＞X时，有|f（x）－A|＜ε。
2函数极限的性质
（1）唯一性
如果
存在，则这极限唯一。
（2）局部有界性
如果
，则存在常数M＞0和δ＞0，使得当0＜|x－x0|＜δ时，有|f（x）|≤M。
（3）局部保号性
①如果
，且A＞0（或A＜0），则存在常数δ＞0，使得当0＜|x－x0|＜δ时，有f（x）＞0（或f（x）＜0）。
②如果
，则存在着x0的某一去心邻域U°（x0），当x∈U°（x0）时，有|f（x）|＞|A|/2。
③如果在x0的某去心邻域内f（x）≥0（或f（x）≤0），而且
，则A≥0（或A≤0）。
（4）函数极限与数列极限的关系
如果极限
存在，{xn}为函数f（x）的定义域内任一收敛于x0的数列，且满足：xn≠x0（n∈N＋），则相应的函数值数列{f（xn）}必收敛，且
。
四、无穷小与无穷大
1无穷小
若
，称f（x）是x→x0时的无穷小量。
2无穷大
（1）定义
若
，称f（x）是x→x0时的无穷大量。
（2）渐近线
设曲线y＝f（x）
