在四边形中ABCD,点E为AB边上的一点,点F为对角线BD上的一点,且EF⊥AB.
(1)若四边形ABCD为正方形.
①如图1,请直接写出AE与DF的数量关系 ;
②将△EBF绕点B逆时针旋转到图2所示的位置,连接AE,DF,猜想AE与DF的数量关系并说明理由;
(3)如图3,若四边形ABCD为矩形,BC=mAB,其它条件都不变,将△EBF绕点B顺时针旋转α(0°<α<90°)得到△E'BF',连接AE',DF',请在图3中画出草图,并直接写出AE'与DF'的数量关系.
考点分析:
相似形综合题;综合题.
题干分析:
(1)①利用正方形的性质得△ABD为等腰直角三角形,则BF=AB,再证明△BEF为等腰直角三角形得到BF和BE的关系,从而得到DF和AE之间的关系;
②利用旋转的性质得∠ABE=∠DBF,加上,BF/BE=BD/AB则根据相似三角形的判定可得到△ABE∽△DBF,所以DF/AE=BF/BE
(2)先画出图形得到图3,利用勾股定理得到BD,再证明△BEF∽△BAD得到,BE/BA=BF/BD则BF/BE=BD/AB的比值,接着利用旋转的性质得∠ABE′=∠DBF′,BE′=BE,BF′=BF,所以BF’/BE’=BD/AB,然后根据相似三角形的判定方法得到△ABE′∽△DBF′,再利用相似的性质可得DF’/AE’=BD/AB.
解题反思:
本题考查了相似形的综合题:熟练掌握旋转的性质、矩形和正方形的性质;灵活应用相似三角形的判定和性质,会利用相似比表示线段之间的关系。