几何变换问题是近几年每年必考的压轴类试题,它多以三角形、四边形为载体,结合平移、旋转、翻折、相似等变换,集中考查学生对几何知识的综合掌握情况.试题的设问往往是由小到大、由易到难,在应用勾股定理、三角形全等、三角形相似、特殊四边形的判定及性质的过程中,通过逐步探索新知的方式解答问题.此类问题注重对探索、创新能力的考查,是近年来中考命题的新趋势.尤其是几何变换的多解压轴题,几乎年年考,年年让一大批考生欲哭无泪。究竟几何变换的多解问题压轴题有多难?能让众多考生望而生畏?下面通过具体实例看一下,是否真的很难,来寻找解这类问题策略。
类型1,图形的翻折变换
在翻折问题中,折痕是翻折前后两个图形的对称轴,利用“连接对称点的线段被对称轴垂直平分”这条性质,找到有关的数量关系,抓住图形在翻折变换中的全等不变性是非常重要的.注意折痕位置不确定性带来图形多样性而出现问题的多解.另外,在翻折问题中还经常结合勾股定理、相似三角形、锐角三角函数等知识共同解决问题.
1.(保定一模)课题学习:矩形折纸中的数学
实践操作
折纸不仅是一项有趣的活动,也是一项益智的数学活动.数学课上,老师给出这样一道题将矩形纸片ABCD沿对角线AC翻折,使点B落在矩形所在平面内,BC和AD相交于点E,如图1所示.
探素发现
(1)在图1中,①请猜想并证明AE和EC的数量关系;②连接BD,请猜想并证明BD和AC的位置关系;
(2)第1小组的同学发现,图1中,将矩形ABCD沿对角线AC翻折所得到的图形是轴对称图形.若沿对称轴EF再次翻折所得到的图形仍是轴对称图形,展开后如图2所示,请你直接写出该矩形纸片的长、宽之比;
(3)若将图1中的矩形变为平行四边形时(AB≠BC),如图3所示,(1)中的结论①和结论②是否仍然成立,请直接写出你的判断.
拓展应用
(4)在图3中,若∠B=30°,AB=2,请您直接写出:当BC的长度为多少时,△ABD恰好为直角三角形.
【分析】本题属于四边形综合题,考查了翻折变换,矩形的性质,平行四边形的性质,直角三角形的判定和性质,勾股定理,解直角三角形等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.
【解答】(1)如图1中,①结论:EA=EC.理由:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∴∠EAC=∠ACB,
由翻折可知:∠ACB=∠ACE,∴∠EAC=∠ECA,∴EA=EC.
②连接DB′.结论:DB′∥AC.
∵EA=EC,∴∠EAC=∠ECA,
∵AD=BC=CB′,∴ED=EB′,∴∠EB′D=∠EDB′,
∵∠AEC=∠DEB′,∴∠EB′D=∠EAC,∴DB′∥AC.
(2)如图2中,
①当AB:AD=1:1时,四边形ABCD是正方形,
∴∠BAC=∠CAD=∠EAB′=45°,
∵AE=AE,∠B′=∠AFE=90°,∴△AEB′≌△AEF(AAS),∴AB′=AF,
此时四边形AFEB′是轴对称图形,符合题意.
②当AD:AB= 时,也符合题意,
∵此时∠DAC=30°,∴AC=2CD,∴AF=FC=CD=AB=AB′,
∴此时四边形AFEB′是轴对称图形,符合题意.
(3)如图3中,当四边形ABCD是平行四边形时,仍然有EA=EC,DB′∥AC.
理由:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,∴∠EAC=∠ACB,
由翻折可知:∠ACB=∠ACE,∴∠EAC=∠ECA,∴EA=EC.
∵EA=EC,∴∠EAC=∠ECA,
∵AD=BC=CB′,∴ED=EB′,∴∠EB′D=∠EDB′,
∵∠AEC=∠DEB′,∴∠EB′D=∠EAC,∴DB′∥AC.
类型2 图形的平移变换
在图形的平移过程中,除了对应线段、对应角等有关几何量始终保持相等外,对应线段的位置也是保持平行的.对于一些较为复杂的图形运动问题,借助示意图的直观性能很好地降低对问题理解上的难度.此外,还要借助空间想象能力对图形运动作深刻的理性分析,全面剖析各种可能性.
2.(潍坊中考题)如图1,在ABCD中,DH⊥AB于点H,CD的垂直平分线交CD于点E,交AB于点F,AB=6,DH=4,BF:FA=1:5.
(1)如图2,作FG⊥AD于点G,交DH于点M,将△DGM沿DC方向平移,得到△CG′M′,连接M′B.
①求四边形BHMM′的面积;
②直线EF上有一动点N,求△DNM周长的最小值.
(2)如图3,延长CB交EF于点Q,过点Q作QK∥AB,过CD边上的动点P作PK∥EF,并与QK交于点K,将△PKQ沿直线PQ翻折,使点K的对应点K′恰好落在直线AB上,求线段CP的长.
【分析】(1)①由题意可知四边形BHMM'为梯形,上底BH,下底MM′易求,故只需求出高MH即可,计算MH可通过同角的余角相等证明∠FMH=∠A,而∠A的正切值易求,故高MH可得(求高也可利用△FHM∽△DHA来计算),从而求出面积;②由EF垂直平分CD可得点D和点C关于直线EF对称,故只需连接CM,CM与EF的交点即为满足条件的点N,分别求出CM和DM即可求出周长的最小值;(2)先通过∠A的正切值不变求出FQ的长度,从而求出PK,由折叠可得PK′=PK,QK′=QK,利用勾股定理先求出GK′的长度,设PE=x,在Rt△QFK′中把FK′和QK′用x表示出来,利用勾股定理求出x的值,从而求出CP的长度.
【解答】:(1)①在ABCD中,AB=6,直线EF垂直平分CD,∴DE=FH=3,
又BF:FA=1:5,∴AH=2,
∵Rt△AHD∽Rt△MHF,
∴HM/FH=AH/DH,即HM/3=2/4,∴HM=1.5,
根据平移的性质,MM=CD=6,连接BM,如图1,
四边形BHMM′的面积=1/2×6×1.5+1/2×4×1.5=7.5;
②连接CM交直线EF于点N,连接DN,如图2,
∵直线EF垂直平分CD,∴CN=DN,
∵MH=1.5,∴DM=2.5,
【方法规律】解题的关键是:(1)根据“将军饮马”模型找出点的位置,利用轴对称是求最短路线问题的常用技巧,其方法就是要作出一点关于直线的对称点,另一点与对称点之间的线段的长就是最短路线段长.(2)根据两点之间线段最短求出最值,(基本思想:数线共线取最值)
类型3,图形的旋转变化。
几何图形的旋转变换是近年来中考中的常考点,多与三角形、四边形相结合.解决旋转变换问题,首先要明确旋转中点、旋转方向和旋转角,关键是找出旋转前后的对应点,利用旋转前后两图形全等等性质解题.
3.(河南二模)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,点D,E分别在边AC,AB上,∠DEA=90°,连接BD,点F是BD的中点,连接CF,EF.
(1)观察猜想,
图1中,线段CF与EF的数量关系是______,位置关系是_______;
(2)探究证明
把△DEA绕点A按逆时针方向旋转到图2的位置,请判断(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由;
(提示:先延长EF至点G,使FG=EF,再连接BG,CE,CG)
(3)拓展延伸
把△DEA绕点A在平面内自由旋转,若AC=√10 ,AD=2,请直接写出当点B,D,E在一条直线上时CE的长.
【分析】本题属于几何变换综合题,考查了等腰直角三角形的性质,直角三角形斜边中线的性质,等腰三角形的三线合一,勾股定理,全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于中考压轴题.
【解答】(1)结论:CF=EF,CF⊥EF.
理由:如图1中,∵DE⊥AB,∴∠DEB=90°,
∵∠DCB=90°,DF=FB,∴EF=1/2DB,CF=1/2BD,∴EF=CF.
∵CA=CB,∠ACB=90°,∴∠ABC=45°,
∵∠DCB=∠DEB=90°,∴∠CDE=135°,
∵DF=FB,∴DF=EF=CF,∴∠FDE=∠FED,∠FCD=∠FDC,
∴∠FED+∠FDE+∠FDC+∠FCD=270°,
∴∠CFE=360°﹣270°=90°,∴CF⊥FE.
(2)仍然成立.理由如下:
如图2,延长EF至点G,使FG=EF,交AB于点K,连接BG,CE,CG.
∵点F为BD的中点,BF=DF,∠GFB=∠DFE,
∴△GFB≌△EFD(SAS),
∴BG=ED,∠BGF=∠DEF,
在Rt△ABC中,∵∠ACB=90°,CA=CB,∴∠CAB=∠CBA=45°,
∵∠DAE=∠CAB,∠DAE=45°,∠DEA=90°,DE=AE.∴BG=AE
∵∠CBG=∠CBA+∠CBK=45°+∠GBK,
又∵∠CAE=∠EAK﹣∠CAB=∠EAK﹣45°=∠GBK+∠BGK﹣∠AEK﹣45°
=∠GBK+∠DEK﹣∠AEK﹣45=∠GBK+∠DEA﹣45°=∠GBK+90°﹣45°=∠GBK+45°,∴∠CBG=∠CAE,∴△CBG≌△CAE(SAS),
CG=CE,∠BCG=∠ACE,
∴∠ECG=∠ACE+∠ACG=∠BCG+∠ACG=∠ACB=90°,
∵FG=EF,CF=EF,∴CF⊥EF.
(3)如图3﹣1中,当点D在直线AB的上方时,连接EC.
如图3﹣2中,当点D在AB的下方时,连接EC.同法可求:EC=4.综上所述,满足条件的EC的值为2或4.
4.(金牛区模拟)(1)△ABC和△CDE是两个等腰直角三角形,如图1,其中∠ACB=∠DCE=90°,连结AD、BE,求证:△ACD≌△BCE.
(2)△ABC和△CDE是两个含30°的直角三角形,其中∠ACB=∠DCE=90°,∠CAB=∠CDE=30°,CD<AC,△CDE从边CD与AC重合开始绕点C逆时针旋转一定角度α(0°<α<180°);
①如图2,DE与BC交于点F,与AB交于点G,连结AD,若四边形ADEC为平行四边形,求BG/AG的值;
②若AB=10,DE=8,连结BD、BE,当以点B、D、E为顶点的三角形是直角三角形时,求BE的长.
【分析】本题是四边形综合题目,考查了平行四边形的性质、等腰直角三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、四点共圆、圆周角定理等知识;本题综合性强,证明三角形相似是解题的关键.
【解答】(1)证明:∵△ABC和△CDE是两个等腰直角三角形,
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE,∴∠ACD=∠BCE,
在△ACD和△BCE中,AC=BC, ∠ACD=∠BCE,CD=CE,
∴△ACD≌△BCE(SAS);
(2)解:①连接CG,如图2所示:
∵四边形ADEC为平行四边形,∴AD∥CE,∴∠ADE+∠CED=180°,
∵∠CED=90°﹣∠CDE=90°﹣30°=60°,∴∠ADE=120°,
∴∠ADC=∠ADE﹣∠CDE=90°,
∵∠CAB=∠CDE=30°,∴A、D、G、C四点共圆∴∠AGC=∠ADC=90°,
∵∠CAB=30°,∴CG=1/2AC,AG=√3CG,∠BCG=30°,
∴CG=√3BG,即BG=√3/3CG∴BG/AG=3;
②分三种情况:当∠BED=90°时,如图3所示:
∵△ABC和△CDE是两个含30°的直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,∠CAB=∠CDE=30°,
总之,点动成线,线动成面,面动成体这是图形的变化的“宗”,我们需要掌握其变化规律,掌握变化前后点、线、面的联系,找到隐含的条件,从而解决问题。