中考数学压轴题冲刺：旋转中的30°角问题
几何变换中的旋转变换，是中考数学压轴题的一个常见类型，也是中考数学的一个重难点。凡是关于变换的，基本上可以算是中考中的难题了。而常见的旋转类型有：线的旋转、角的旋转以及图形的旋转。
线的旋转包括直线型（线段、射线）的旋转；曲线型（抛物线）的旋转。
角的旋转包括特殊角（30°、45°、60°、90°）的旋转，一般角的旋转。
图形的旋转包括三角形旋转，四边形旋转等。
在众多几何旋转中，三角形的旋转是最常见的一种。那么，这一类型的旋转应该怎么解答呢？下面，从直角三角形绕直角顶点的旋转出发，解释这一旋转中值得总结归纳的相关知识点。
（1）旋转分离出相等的角，即旋转角与直角的和差；
（2）旋转中相等的线段，即对应线段；
（3）旋转过程中保持不变的数量关系及位置关系。
例题精讲
例题、在△ABC中，∠ABC＝45°，BC＝4，tanC＝3，AH⊥BC于点H，点D在AH上，且DH＝CH，连接BD．
（1）如图1，将△BHD绕点H旋转，得到△EHF（点B、D分别与点E、F对应），连接AE，当点F落在AC上时（F不与C重合），求AE的长；
（2）如图2，△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到的，射线CF与AE相交于点G，连接GH，试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由．
【分析】
（1）先根据tanC＝3，求出AH＝3，CH＝1，然后根据△EHA∽△FHC，得到，HP＝3AP，AE＝2AP，最后用勾股定理即可；
（2）先判断出△AGQ∽△CHQ，得到AQ：GQ=CQ：HQ，然后判断出△AQC∽△GQH，用相似比即可．
【解答】
（1）如图，
在Rt△AHC中，∵tanC＝3，∴AH：CH＝3，
设CH＝x，∴BH＝AH＝3x，
∵BC＝4，∴3x+x＝4，∴x＝1，∴AH＝3，CH＝1，
由旋转知，∠EHF＝∠BHD＝∠AHC＝90°，EH＝AH＝3，CH＝DH＝FH，
∴∠EHF+∠AHF＝∠AHC+∠AHF，
∴∠EHA＝∠FHC，EH：AH=FH：HC=1
∴△EHA∽△FHC，∴∠EAH＝∠C，
∴tan∠EAH＝tanC＝3，
过点H作HP⊥AE，∴HP＝3AP，AE＝2AP，
在Rt△AHP中，AP^2+HP^2＝AH^2，
∴AP^2+（3AP）^2＝9，
∴AP＝3√10/10，
∴AE＝3√10/5；
（2）如图1，
∵△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到，
∴HD＝HF，∠AHF＝30°
∴∠CHF＝90°+30°＝120°，
由（1）有，△AEH和△FHC都为等腰三角形，
∴∠GAH＝∠HCG＝30°，∴CG⊥AE，
∴点C，H，G，A四点共圆，∴∠CGH＝∠CAH，
设CG与AH交于点Q，
∵∠AQC＝∠GQH，∴△AQC∽△GQH，
∴AC :HG=AQ:CQ=1:sin30°=2
∵△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到，
∴EF＝BD，
由（1）知，BD＝AC，
∴EF＝AC
∴EF：HG=1:sin30°=2
即：EF＝2HG，
【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，锐角三角函数的意义，等腰三角形的判定和性质，解本题的关键是相似三角形性质和判定的运用．
