高考数学复习实战专题,导数压轴题,函数表达式含有参数,如何求函数的零点个数。由于函数表达式中的参数的值不是特定的值,所以会增加不小的难度,例如在求函数单调区间时参数取不同值时单调性不同,则就需要分类讨论,在比较大小时也会因此而困难很多;历年高考数学中的导数压轴大题基本都是这类题型,所以一定要重视并熟练掌握。
函数的零点就是使函数f(x)等于0的自变量x的值,容易观察,f(x)的表达式可以分解因式,其中一个因式是x,所以x=0是其一个零点;要判断函数f(x)有没有其它的零点,只需判断另一个因式所对应的函数即g(x)有没有零点,也就是说函数g(x)的零点也是f(x)的零点;下面判断函数g(x)的零点个数,首先需要求g(x)的单调区间。
求g(x),令g(x)=0,求出方程的解,划分单调区间并求出单调区间,如下,g(x)有两个单调区间,要判断g(x)在两个单调区间上有无零点,需要判断每一个单调区间的两个端点处函数值的符号;注释:1、g(x)的最小值g(a)的值含有参数a,则当a在不同区间取值时,g(a)的符号不同,所以要分3种情况讨论:a=1、a<1和a>1,其中a=1和a<1时的过程如下:
a>1时,和上面的情况一样,需要判断g(x)在3个端点处的函数值的符号,其中a和-∞这两个端点处的函数值的符号很容易确定,过程如下:
而当x趋向于+∞时,g(x)的符号不容易判断,通常的方法是先根据各种函数的增长快慢情况大致分析出其符号(以e为底的指数函数比幂函数增长速度要快,所以当x趋向于+∞时,g(x)应该是正数),然后在单调区间(a, +∞)内取一个合适的值(例如2a),证明符号成立即可(即证明g(2a)>0),当然,如果2a不合适,可以再选更大的值,如100a;如下,构建函数k(x)来证明g(2a)这个式子大于0的方法是高考数学常常考察的重点方法,大家一定要理解并熟练掌握。
做题要有始有终,一个综上,把前面三种情况的结论清晰的归纳在一起是一个良好的习惯。
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