前言：
和很多考研的研友交流发现很多人对线性代数抑或是高等代数中的向量空间和矩阵的理解不够深入还停留在表面上，这或许与所学专业有关，非数学专业的学生学的课程一般叫做《线性代数》，而我们数学专业的学生学得则是《高等代数》，两门课程前者偏重应用因此省略了很多证明过程，也就省略了很多的来龙去脉，在加上非数学专业的学生数学体系并不完善影响理解各种数学概念，而高等代数是一门抽象性学科这就更加让非数学专业的学生晕头转向也是良有以也。而后者偏重理论我们不仅需要知道如何去应用而且也要把知识的来龙去脉搞清楚，能够从各种不同的角度去理解把握代数学。鄙人不敢说把代数学的很好，但是鄙人自信理解的应该还是算到位的。因此作此文总结自己感悟。
代数学按照鄙人的理解就是研究数与数，量与量之间关系的一门学科。不论是行列式的起源还是矩阵的起源其实最开始只是为了研究解线性方程组的问题，不同的线性方程组有不同的系数那么直觉告诉我们线性方程组的解与系数之间应该存在某种关联，因此就产生了行列式，行列式在本文不做过多叙述。众所周知一个线性方程组经过行变换以及交换列的变换可以将一个线性方程组化解为与他同解的线性方程组，其实就是运用高斯消去法，为了提高化解效率就省略了变量只把与之对应的系数排成行列提取出来化解，于是矩阵也就产生了，在解决了线性方程组的求解问题之后数学家们又发现矩阵这个工具在解决数学问题的时候用起来很方便于是接着研究矩阵的各种性质问题将矩阵的运用推广，而向量空间的产生是数学家们总结几何以及各种数学问题而抽象出来的一个普遍概念，目的是为了把同一性质的问题统一起来研究，解决了抽象出的概念就等于解决了与之类似的千千万万个问题，这就是数学上的从一般到特殊在从特殊到一般的迭代，之后数学家们在研究向量空间的时候发现矩阵与向量空间中的某种变换有着一种纯天然的联系，这不得不说数学真是太奇妙了。了解了这些有助于从更高的角度理解数学，在很多人看来数学就是数学，而在我们数学专业的学生看来数学并不仅仅是数学，不管别人同意不同意我个人觉得数学是一种’‘故事’‘，如果不懂这句话的意思先去看《人类简史》这本书。
一、向量空间：
向量的概念大家并不陌生，但是向量空间又是什么嘞？无论是在空间解析几何中还是在初等几何中向量是用来表示大小和方向的量，但是在代数学中任何的量都可以把它叫做向量，解析集合中在三维空间中的向量说穿了就是一个既有运动学属性又有数学属性的一个量，这样的量在现实世界中是普遍存在的，这样的量是一种现实世界与到数学范畴的一种对应。三维空间其实也是一个向量空间，其中的向量有着同样的特质，因此它是无数多个有着相同特质量的集合。在三维几何空间中向量还可以进行向量与向量的加减法，向量与标量的乘法，并且运算过后的向量仍然与之前的向量有着相同的特质(有运动属性和数学属性)，即向量运算之后任然属于三维几何空间。代数学上的向量空间是一种对几何上向量空间的一个推广，因此向量空间像几何空间是有着相同特质的量的集合，并且在集合上面定义了一套运算规则，即向量空间的八条性质，向量空间具有封闭性是不证自明的。
因此只要是有着无穷多个相同特质的量的集合并且这个集合中的量运算满足向量空间的八条性质，就可以把这样的无穷多个量的集合叫作向量空间，集合中的量就叫做向量。
1.1 向量坐标的概念：
在抽象出了向量空间的概念之后如果想要推广还必须要研究向量空间所具有的结构与性质，向量空间中的无穷多个向量是如何形成的？能否就像搭积木一样有了一组积木就能搭建成各种各样的房子，这就产生了向量空间的基的概念，向量空间中的任何一个向量都可以由他的一组基线性表示。
假设V是数域F上的一个n维向量空间，
是向量空间的一组基，那么V中任意的向量
都可以唯一的表示成
,则
就叫做向量
关于
的坐标。
1.2 向量过渡矩阵的概念：
过渡矩阵其实就是取向量空间的两组基，其中一组基用另外一组基线性表示之后将坐标排成列之后形成的矩阵，也即其中一组基在另一极限的坐标排成列所形成的矩阵，实际上过渡矩阵描叙的是统一向量空间中不同的基之间转化关系的矩阵，知道了两个基的过渡矩阵就可以由某个向量在其中一个基之下的坐标求出向量在另一个基之下的坐标，还可由其中一个基求出另一个基。
1.3 什么是线性变换：
线性变换说白了就是一种映射，把向量空间中的某个向量变成仍在同一向量空间中的另一向量
二、欧式空间：
欧式空间是在向量空间的基础之上定义了度量两向量大小和关系法则空间即内积空间
向量空间仅仅是定义了形并没有定义性，欧式空间就是定义了性的向量空间
2.1 什么是正交变换：
正交变换就是不改变向量的长度但是改变向量的位置的变换，在平面几何中有旋转和关于某过原点反射两种变换，在三维空间中有旋转以及关于某平面的反射两种变换可以复合变换
2.2 什么是对称变换：
任何一个变换关于某基都有一个矩阵(由变换之后的基在原基下的坐标排成列做成的矩阵)，对称变换就是能够将某一规范正交基变成对角矩阵的变换
总结：矩阵在向量空间中的概念就是一个变换，n维欧式空间中的某向量乘上一个n阶矩阵就是把向量做一次变换，乘上正交矩阵就是正交变换，变换之后其长度不变但位置由变换决定，乘上对称矩阵就是做对称变换，总之n阶矩阵乘上n维向量空间中的某向量就是把该向量映射成另一向量。这样一个nxn阶线性方程组有解相当于就是说系数矩阵所代表的变换能把某一向量变成等式右边的系数向量。代数与几何是不分家的。
