前言：前一节我们讨论了向量的基本概念，并得出向量的两个基本操作，这节我们依据上节的向量知识，将向量和线性代数的线性相关性的概念拿出来讨论，从而深刻理解什么叫线性相关性：

Mathematics requires a small dose,not of genius,but of an imaginative freedom which, in a larger dose, would be insanity. --- Angus K. Rodgers

1 两个基本单位向量：

上一节我们提到，向量坐标和缩放这2个概念。现在我们来应用一下。

我们把原来的坐标点概念拓展一下，原来坐标表示的是单位长度，我们生活中的距离。我们可以用绝对单位来赋值他，比如单位长度单位是1米，那么2就是2米，这个简单。

现在，我们拓展一下，单位长度我们定义为一个基本的向量（因为是向量，那么他就不仅仅是有长度，还有方向对不对）。那么，我们用单位向量去描述我们要的向量，是不是就可以用缩放的倍数概念了。这样就构成了一个，缩放因子表达的坐标系（或者说是矢量坐标系）

【案】向量 = 矢量

【案】这个理解起来有点绕，理解为把原来XY坐标系的概念改一下，变成向量坐标系。原来的点的绝对坐标，变成了向量的一个缩放比例，记住，向量是运动的，那么在原点上，他的运动（如果用tip的长度）来衡量，不就是他运动的缩放比例吗？

既然用基本单位向量来表示，我们就定义一下这个基本向量分别为：

设定为XY坐标系的指向X方向，且单位为1的向量（X方向单位向量）

设定为XY坐标系的指向Y方向，且单位为1的向量（Y方向单位向量）

有了这两个基本向量，我们就可以把矢量（向量）的坐标看成是缩放因子去乘以基本向量，从而得到两个基础向量缩放的和，

【案】这个概念非常重要，以这两个基础向量构建的XY坐标系的方法。

如果我们将两个基础向量改成其他的基础向量，马上，我们就会得出一个全新的坐标系。

这也许就是为了，坐标系变换的基础。

2 坐标系的构建

我们继续深入一下刚才重要的概念，现在我们选取一对任意的向量【1.5单位长度的一个第一象限的向量v，0.6单位长度的第四象限的向量w】作为基础向量，那么通过改变缩放因子（向量的坐标值），我们是不是还是可以得出在这个XY向量系的其他所有的向量吗？

通过选取不同的缩放比例相加，我们还是可以得到，整个坐标上的所有的向量。

如下图，紫红色表述的是由新的基础向量通过scalling缩放得到的新的向量。

但是，这样相加得到的向量和前面我们用基本的单位向量做同等比例的缩放得到的向量显然是不同的。

例如：用计算机程序计算，我们用【-0.80,1.30】T这个向量坐标去表述这个紫红色的向量。

而在，XY坐标系下同一个位置，我们如果用前面的基础向量坐标i head,j head去缩放到这个位置，需要的缩放比例矩阵为【3.1，-2.9】T,

显然，这个例子里面，虽然位置相同，但是，因为基于不同的基本向量，得出的向量的坐标（缩放比例）是不同的。

【由此得出另外一个重要的概念】

任何时候，我们去描述一个向量的值的时候，一定要同时考察该向量是基于那个隐含的基础向量。换句话说，就是要考察不同的坐标系统下的转换关系。

3 线性、线性相关性和Span：

上小节，我们讨论了基础向量是如何决定一个坐标系统的。但是，无论基础向量怎么变化，他都是通过两个方法来构建坐标系统，相加和相乘。或者，用缩放理论来描述，就是一组缩放的组合。

这样就引申出了线性代数里面重要的概念：线性和线性组合

我们把两个向量通过两个缩放因子通过加法进行表述的结果，称为线性组合。

如果固定某一个缩放因子a 或者 b，这样就会给出在一条直线上的向量集。

如果两个缩放因子都自由给出，那么很可能你可以得到所有的2维的向量。

为什么这里用很可能，因为我们只讨论了缩放因子a或者b的情况，向量V和W的相关性也会影响结构。因为，如果V和W正好在一条直线上（同一个方向或者相反方向），那么缩放因子再怎么改变，两个向量的线性组合都不可能在这条直线外面。

同样，还有可能V，W都是0值，那么两个向量的线性组合就一个原点。

无论，这两个向量的关系如何，也无论线性缩放因子如何取值，他们组成的线性组合所生成的向量集，其实就表示了这个线性组合所构成的空间，我们定义为SPAN【线性生成空间】.

4 向量和点

向量是有方向和箭头的，但是，当我们讨论向量的集。我们只考虑向量的tips,也就是他的坐标点集合。

5 3D 向量空间

如果只用两个基础向量放到一个3维的坐标空间，我们会看到一个平面的表。

如果我们增加一个基础向量u,用3个基础向量进行表述，那么就是之前二维的向量组合的一个三维拓展。

他线性生成空间的定义完全和二维的是类似的。

如果，这个基础向量u，正好是之前的二维向量线性生成空间的一个元素。（正如之前二维线性生生成空间，两个向量可能在一条直线上一样），我们又得到了和之前用两个基础向量描述的结果一样的平面。

也就是增加的基础向量u，并不能保证一定可能自由访问任意的向量空间。

如何描述我们的正确选型能，这里，终于引出了本节最关键的概念：线性相关。

线性相关的向量v 和 w,构成的向量线性空间就是一个Line up的直线。

同样，线性相关的三个向量，只能构成一个平面的向量线性空间。

由此，我们得出结论：

向量空间的基是由一组线性无关的向量，而且这些向量能够张成一个满的空间。

【案，感觉这里表述还是有点不清楚，我再加一点】

若一个向量集是某个子空间的 Basis，则该向量集必须满足两个条件：

各向量之间线性无关；该向量集能张成该子空间。

参考：同线性代数【12】

李宏毅-线代总结(三) - 知乎 ()

Essence of linear algebra: @ Youtubeby,3Blue1Brown

单词表：

1 Span【线性生成空间】

The “Span” of v and w is the set of all their linear combinations.

2i head, j head 【基础向量 X方向，基础向量Y方向】

3 Basis，Basis vector：【基，基础向量】

The Basis vector define theCoordinates which vary the different scalling would result the vector via Span.

The basis of a vector space is a set of linearly independent vectors that span the full space.

4 Linear combination 【线性组合】

5 Linearly dependent & independent 【线性相关和线性无关】