基本题一：最长公共子序列问题
一、实验目的与要求
1、熟悉最长公共子序列问题的算法；
2、初步掌握动态规划算法；
二、实验题
若给定序列X={x1,x2,…,xm}，则另一序列Z={z1,z2,…,zk}，是X的子序列是指存在一个严格递增下标序列{i1,i2,…,ik}使得对于所有j=1,2,…,k有：zj=xij。例如，序列Z={B，C，D，B}是序列X={A，B，C，B，D，A，B}的子序列，相应的递增下标序列为{2，3，5，7}。
给定2个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。
给定2个序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}，找出X和Y的最长公共子序列。
三、实验提示
include"stdlib.h"#include"string.h"voidLCSLength(char*x,char*y,intm,intn,int**c,int**b){inti,j;for(i=1;i<=m;i++)c[i][0]=0;for(i=1;i<=n;i++)c[0][i]=0;for(i=1;i<=m;i++)for(j=1;j<=n;j++){if(x[i]==y[j]){c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;b[i][j]=1;}elseif(c[i-1][j]>=c[i][j-1]){c[i][j]=c[i-1][j];b[i][j]=2;}else{c[i][j]=c[i][j-1];b[i][j]=3;}}}voidLCS(inti,intj,char*x,int**b){if(i==0||j==0)return;if(b[i][j]==1){LCS(i-1,j-1,x,b);printf("%c",x[i]);}elseif(b[i][j]==2)LCS(i-1,j,x,b);elseLCS(i,j-1,x,b);}
四、题目分析
在求最长公共子序列中，我们可以看出如下规律：
设序列X={x1,x2,…,xm}和Y={y1,y2,…,yn}的最长公共子序列为Z={z1,z2,…,zk} ，则
(1)若xm=yn，则zk=xm=yn，且zk-1是xm-1和yn-1的最长公共子序列。
(2)若xm≠yn且zk≠xm，则Z是xm-1和Y的最长公共子序列。(即：Z是X序列中前m个元素所组成的序列与Y序列的最长公共子序列)
(3)若xm≠yn且zk≠yn，则Z是X和yn-1的最长公共子序列。(即：Z是Y序列中前n个元素所组成的序列与X序列的最长公共子序列)
由上面三个条件可得如下公式：
C[][]用来记录最长公共子序列的长度，则：
c[i][j] = <1> 0; (当i、j = 0时)；
<2> c[i-1][j-1] + 1; (当i、j > 0 且 Xi = Yj时)(即第i个X序列元素与第j个Y元素相等)
<3> max(c[i][j-1] , c[i-1][j]) (当i、j > 0 且 Xi != Yj时)（当Xi与Yj不等时，取两个式子的最大值，若两者相等则默认取第一个）
五，源代码
importjava.util.*;importjava.io.*;publicclassLCS{publicstaticvoidmain(String[]args){Strings1="ABCBDAB";Strings2="BDCABA";LCScms=newLCS();String[]x=cms.init(s1);String[]y=cms.init(s2);int[][]b=newint[x.length][y.length];System.out.println("最大子序列的长度为："+lcsLength(x,y,b));System.out.println("最大子序列为：");lcs(x.length-1,y.length-1,x,b);}publicstaticvoidlcs(inti,intj,String[]x,int[][]b){if(i==0||j==0)return;if(b[i][j]==1){lcs(i-1,j-1,x,b);System.out.print(x[i]+"");}elseif(b[i][j]==2)lcs(i-1,j,x,b);elselcs(i,j-1,x,b);}privateString[]init(Stringstr){Stringtemp=str;String[]s=temp.split("");returns;}publicstaticintlcsLength(String[]x,String[]y,int[][]b){intm=x.length-1;intn=y.length-1;int[][]c=newint[m+1][n+1];for(inti=1;i<=m;i++){c[i][0]=0;}for(inti=1;i<=n;i++)c[0][i]=0;for(inti=1;i<=m;i++){for(intj=1;j<=n;j++){if(x[i].equals(y[j])){c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;b[i][j]=1;}elseif(c[i-1][j]>=c[i][j-1]){c[i][j]=c[i-1][j];b[i][j]=2;}else{c[i][j]=c[i][j-1];b[i][j]=3;}}}returnc[m][n];}}
结果：
