一、高斯消去法的基本思想
例1. 解方程组：
解 方程组矩阵形式为:AX=b,其中:
第一步，消元过程：对增广矩阵进行消元
第二步, 回代过程:
此方法就是高斯消去法。
二、改进版算法
由高斯消去法知道，在消元过程中可能出现=0的情况, 这时消去法将无法进行；即使主元素≠0，但很小时，用其作除数,会导致其他元素数量级的严重增长和舍入误差的扩散, 最后也使得计算解不可靠。
引例 求解方程组
用4位浮点数进行计算。
解： 方法1用高斯消去法求解。
其中
计算解为:
显然计算解是一个很坏的结果，不能作为方程的近似解。
方法2交换行，避免绝对值小的主元做除数。
得计算解为：
x=(-0.4900,-0.05113,0.3678)T≈x*.
这个例子告诉我们，在采用高斯消去法解方程组时,小主元可能产生麻烦,故应避免采用绝对值小的主元素a 。对一般矩阵来说，最好每一步选取系数矩阵(或消元后的低价矩阵)中绝对值最大的元素作为主元素，以使高斯消去法具有较好的数值稳定性, 这就是全主元素消去法, 在选主元时要花费较多机器时间，目前主要使用的是列主元消去法。
本节主要介绍列主元消去法,并假定(2.1)的 A∈Rn×n 为非奇异的。
1 . 列主元素消去法
设方程组（2.1）的增广矩阵为：
首先在A的第一列中选取绝对值最大的元素作为主元素，例如:
|ai1,1|= max |ai1|≠0， 1≤i≤n
然后交换B的第一行与第i1行，经第一次消元计算得
(A|b)→(A(2)|b(2))
重复上述过程,设已完成第k-1步的选主元素,交换两行及消元计算，(A|b)约化为:
(2.2)
其中A(k)的元素仍记为aij，b(k)的元素仍记为bi。
第k步选主元素(在A(k)右下角方阵的第一列内选)，即确定ik，使
交换(A(k)|b(k))第k行与ik列的元素，再进行消元计算,最后将原方 程组化为(k=1，2…，n-1):
回代求解
2. 高斯-若当消去法
高斯消去法始终是消去对角线下方的元素,现考察高斯消去法的一种修正，即消去对角线下方和上方的元素，这种方法称为高斯-若当( Gauss—Jordan )消去法。通过选主元，消元等过程最终化为：
说明：用高斯-若当方法将A约化为单位矩阵,计算解就在常数位置得到,因此用不着回代求解,用高斯-若当方法解方程组其计算量要比高斯消去法大,但用高斯—若当方法求一个矩阵的逆矩阵还是比较合适的。
定理4（高斯-若当法求逆矩阵）设 A 为非奇异矩阵，C=(A|In), 如果对C应用高斯—若当方法化为（In|T），
则A-1=T 。
例4用高斯-若当方法求 的逆矩阵以及 的解。
解：
c++代码实现如下：
/** test.cpp** Created on: -1-5*Author: zhijian*/#include <stdio.h>#include <math.h>#define MAXN 100#define ZERO 0.000000001//定义浮点0//#define DEBUG//交换两个变量的值void swap(double *a,double *b){double temp = *a;*a = *b;*b = temp;}//B行的每一个元素加上A行的每一个元素的值*kvoid lineOper(double A[],double B[],int n,double k){for(int i = 0;i<n;i++)B[i] += A[i] * k;}/** 解线性方程组Ax = b,* 其中A为n*n的方阵，x，b为n维向量* 返回是否有解*/bool solveEquations(double A[MAXN][MAXN],int n,double x[MAXN],double b[MAXN]){double temp[MAXN][MAXN + 1];//增广矩阵//初始化增广矩阵for(int i = 0;i<n;i++){for(int j = 0;j<n;j++)temp[i][j] = A[i][j];temp[i][n] = b[i];}//化为上三角矩阵for(int j = 0;j<n;j++){//寻找该列绝对值最大的行int mmaxi = j;for(int i = j+1;i<n;i++)if(fabs(temp[i][j])>fabs(temp[mmaxi][j]))mmaxi = i;if(fabs(temp[mmaxi][j])<ZERO)return false;//无解if(mmaxi != j){//交换两行for(int i = 0;i<n+1;i++)swap(&temp[mmaxi][i],&temp[j][i]);}//消元for(int i = j + 1;i<n;i++){double k = temp[i][j] / temp[j][j];lineOper(temp[j],temp[i],n+1,-k);}}//迭代求值for(int j = n - 1;j>=0;j--){double sum = 0;for(int i = j+1;i<n;i++)sum += x[i] * temp[j][i];x[j] = (temp[j][n] - sum) / temp[j][j];}return true;}void test(){double A[MAXN][MAXN];double x[MAXN];double b[MAXN];int n;printf("请输入矩阵A的规模:\n");scanf("%d",&n);printf("请按行输入矩阵A:\n");for(int i = 0;i<n;i++)for(int j = 0;j<n;j++)scanf("%lf",&A[i][j]);printf("请输入向量b:\n");for(int i = 0;i<n;i++)scanf("%lf",&b[i]);if(!solveEquations(A,n,x,b))printf("无解\n");else{for(int i = 0;i<n;i++)printf("%lf\n",x[i]);}}int main(){test();return 0;}
求逆的实现：
/** test.cpp** Created on: -1-5*Author: zhijian*/#include <stdio.h>#include <math.h>#define MAXN 100#define ZERO 0.000000001//定义浮点0#define DEBUG//交换两个变量void swap(double *a,double *b){double temp = *a;*a = *b;*b = temp;}//交换两行变量void swapLine(double A[],double B[],int n){for(int i = 0;i<n;i++)swap(&A[i],&B[i]);}//将一行（B）的每一个元素加上另外一行（A）的每一个元素*kvoid lineOper(double A[],double B[],int n,double k){for(int i = 0;i<n;i++)B[i] += k * A[i];}/**** 矩阵求逆* 返回是否有逆*/bool inverse(double A[MAXN][MAXN],int n,double A_[MAXN][MAXN]){double temp[MAXN][MAXN];//辅助矩阵//单位矩阵初始化for(int i = 0;i<n;i++){for(int j = 0;j<n;j++)A_[i][j] = 0,temp[i][j] = A[i][j];A_[i][i] = 1;}//化成上三角矩阵for(int j = 0;j<n;j++){int mmaxi = j;for(int i = j + 1;i<n;i++)if(fabs(temp[i][j])>fabs(temp[mmaxi][j]))mmaxi = i;if(fabs(temp[mmaxi][j])<ZERO)return false;//无逆if(mmaxi != j){swapLine(temp[mmaxi],temp[j],n);swapLine(A_[mmaxi],A_[j],n);}for(int i = j+1;i<n;i++){double k = temp[i][j] / temp[j][j];lineOper(temp[j],temp[i],n,-k);lineOper(A_[j],A_[i],n,-k);}}//变成对角矩阵for(int j = n-1;j>=0;j--){for(int i = 0;i<j;i++){double k = temp[i][j] / temp[j][j];lineOper(temp[j],temp[i],n,-k);lineOper(A_[j],A_[i],n,-k);}}//单位化for(int i = 0;i<n;i++){double k = 1.0 / temp[i][i];for(int j = 0;j<n;j++)A_[i][j] *= k;}return true;}void test(){double A[MAXN][MAXN];double A_[MAXN][MAXN];int n;printf("输入方阵规模\n");scanf("%d",&n);for(int i = 0;i<n;i++)for(int j = 0;j<n;j++)scanf("%lf",&A[i][j]);if(!inverse(A,n,A_)){printf("无解\n");}else{for(int i = 0;i<n;i++){for(int j = 0;j<n;j++)printf("%lf ",A_[i][j]);printf("\n");}printf("\n");}}int main(){test();return 0;}
参考链接：http://sxyd./zhanshi/shuzhifenxi/shuzhifenxi/2.1/szfx021.htm
http://sxyd./zhanshi/shuzhifenxi/shuzhifenxi/2.2/szfx022.htm
