给出两个字符串A B，求A与B的最长公共子序列（子序列不要求是连续的）。
比如两个串为： abcicba abdkscab ab是两个串的子序列，abc也是，abca也是，其中abca是这两个字符串最长的子序列。 Input
第1行：字符串A第2行：字符串B(A,B的长度<=1000)
Output
输出最长的子序列，如果有多个，随意输出1个。
Input示例
abcicbaabdkscab
Output示例
abca
问题定义
• 子序列
– X=(A, B, C, B, D, B)
– Z=(B, C, D, B)是X的子序例
– W=(B, D, A)不是X的子序例
• 公共子序列
–Z是序列X与Y的公共子序列如果Z是X的
子序也是Y的子序列。
最长公共子序列（LCS）问题
输入：X = (x1,x2,...,xn)，Y =
(y1,y2,...ym)
输出：Z = X与Y的最长公共子序
列
最长公共子序列结构分析
• 第i前缀
– 设X=(x1, x2, ..., xn)是一个序列，X的第i前
缀Xi
是一个序列，定义为Xi=(x1, ..., xi )
例. X=(A, B, D, C, A), X1=(A), X2=(A, B), X3=(A,
B, D)
优化子结构
定理1（优化子结构）设X=(x1, ..., xm)、
Y=(y1, ..., yn) 是两个序列，Z=(z1, ..., zk)是X与Y的
LCS，我们有：
⑴ 如果xm=yn, 则zk=xm=yn, Zk-1
是Xm-1
和Yn-1
的
LCS，即，LCSXY = LCSXm-1Yn-1
+ <xm=yn>.
⑵ 如果xm.yn
，且zk.xm
，则Z是Xm-1
和Y的
LCS，即 LCSXY= LCSXm-1Y
⑶ 如果xm.yn,且zk.yn,则Z是X与Yn-1
的LCS，
即 LCSXY= LCSXYn-1
证明:
⑴. X=<x1, …, xm-1, xm>, Y=<y1, …, yn-1, xm>，则
LCSXY = LCSXm-1Yn-1
+ <xm=yn>.
设zkxm
，则可加xm=yn
到Z，得到一个长为k+1的
X与Y的公共序列，与Z是X和Y的LCS矛盾。于是
zk=xm=yn
。
现在证明Zk-1
是Xm-1
与Yn-1
的LCS。显然Zk-1
是Xm-
1
与Yn-1
的公共序列。我们需要证明Zk-1
是LCS。
设不然，则存在Xm-1
与Yn-1
的公共子序列W，W
的长大于k-1。增加xm=yn
到W，我们得到一个长
大于k的X与Y的公共序列，与Z是LCS矛盾。于
是，Zk-1
是Xm-1
与Yn-1
的LCS.
⑵ X=<x1, …, xm-1, xm>, Y=<y1, …, yn-1, yn>，
xmyn
，zkxm
，则 LCSXY= LCSXm-1Y
由于zkxm
，Z是Xm-1
与Y的公共子序列。我
们来证Z是Xm-1
与Y的LCS。设Xm-1
与Y有一
个公共子序列W，W的长大于k, 则W也是X
与Y 的公共子序列，与Z是LCS矛盾。
⑶ 同⑵可证。
X和Y的LCS的优化解结构为
LCSXY=LCSXm-1Yn-1
+ <xm=yn> if xm=yn
LCSXY=LCSXm-1Y if xm≠yn, zk≠xm
LCSXY=LCSXYn-1 if xm≠yn, zk≠yn
建立LCS长度的递归方程
• C[i, j] = Xi与Yj 的LCS的长度
• LCS长度的递归方程
C[i, j] = 0 if i=0 或 j=0
C[i, j] = C[i-1, j-1] + 1 if i, j>0 且 xi = yj
C[i, j] = Max(C[i, j-1], C[i-1, j]) if i, j>0 且 xi ≠ yj
自底向上计算LCS的长度
计算LCS长度的算法
– 数据结构
C[0:m,0:n]: C[i,j]是Xi
与Yj
的LCS的长度
B[1:m,1:n]: B[i,j] 是指针， 指向计算
C[i,j]时所选择的子问题的优化解所对
应的C表的表项
LCS-length(X, Y)
m←length(X)；n←length(Y)；
For i←1 To m Do C[i,0]←0;
For j←1 To n Do C[0,j]←0;
For i←1 To m Do
For j←1 To n Do
If xi = yj
Then C[i,j]←C[i-1,j-1]+1；B[i,j]←“↖”;
Else If C[i-1,j]≥C[i,j-1]
Then C[i,j]≥C[i-1,j]; B[i,j]←“↑”;
Else C[i,j]≥C[i,j-1]; B[i,j]←“←”;
Return C and B.
构造优化解
• 基本思想
– 从B[m, n]开始按指针搜索
– 若B[i, j]=“↖”，则xi=yj
是LCS的一个元
素
– 如此找到的“LCS”是X与Y的LCS
Print-LCS(B, X, i, j)
IF i=0 or j=0 THEN Return;
IF B[i, j]=“↖”
THEN Print-LCS(B, X, i-1, j-1);
Print xi;
ELSE If B[i, j]=“↑”
THEN Print-LCS(B, X, i-1, j);
ELSE Print-LCS(B, X, i, j-1).
Print-LCS(B, X, length(X), length(Y))
可打印出X与Y的LCS。
1/*功能：计算最优值 2 *参数： 3 * x:字符串x X:字符串x最大长度 4 * y:字符串y Y:字符串y最大长度 5 * b:标志数组 6 * xlen:字符串x的长度 7 * ylen:字符串y的长度 8 *返回值：最长公共子序列的长度 9 *10 */11int Lcs_Length(string x, string y, int b[][Y+1],int xlen,int ylen)12{13int i = 0;14int j = 0;15 16int c[X+1][Y+1];17for (i = 0; i<=xlen; i++)18{19 c[i][0]=0;20}21for (i = 0; i <= ylen; i++ )22{23 c[0][i]=0;24}25for (i = 1; i <= xlen; i++)26{27 28 for (j = 1; j <= ylen; j++)29 {30 if (x[i - 1] == y[j - 1])31 {32 c[i][j] = c[i-1][j-1]+1;33 b[i][j] = 1;34 }35 else36 if (c[i-1][j] > c[i][j-1])37 {38c[i][j] = c[i-1][j];39b[i][j] = 2;40 }41 else42if(c[i-1][j] <= c[i][j-1])43{44c[i][j] = c[i][j-1];45b[i][j] = 3;46}4748 }49}5051cout << "计算最优值效果图如下所示：" << endl;52for(i = 1; i <= xlen; i++)53{54 for(j = 1; j < ylen; j++)55 {56 cout << c[i][j] << " ";57 }58 cout << endl;59}6061return c[xlen][ylen];62}
完整代码
//只能打印一个最长公共子序列#include <iostream>using namespace std;const int X = 1000, Y = 1000; //串的最大长度char result[X+1];//用于保存结果int count=0; //用于保存公共最长公共子串的个数int c[X+1][Y+1];int b[X + 1][Y + 1];/*功能：计算最优值*参数：* x:字符串x* y:字符串y* b:标志数组* xlen:字符串x的长度* ylen:字符串y的长度*返回值：最长公共子序列的长度**/int Lcs_Length(string x, string y, int b[][Y+1],int xlen,int ylen){int i = 0;int j = 0;//int c[X+1][Y+1];for (i = 0; i<=xlen; i++){c[i][0]=0;}for (i = 0; i <= ylen; i++ ){c[0][i]=0;}for (i = 1; i <= xlen; i++){for (j = 1; j <= ylen; j++){if (x[i - 1] == y[j - 1]){c[i][j] = c[i-1][j-1]+1;b[i][j] = 1;}elseif (c[i-1][j] > c[i][j-1]){c[i][j] = c[i-1][j];b[i][j] = 2;}elseif(c[i-1][j] <= c[i][j-1]){c[i][j] = c[i][j-1];b[i][j] = 3;}}}/*cout << "计算最优值效果图如下所示：" << endl;for(i = 1; i <= xlen; i++){for(j = 1; j < ylen; j++){cout << c[i][j] << " ";}cout << endl;}*/return c[xlen][ylen];}void Display_Lcs(int i, int j, string x, int b[][Y+1],int current_Len){if (i ==0 || j==0){return;}if(b[i][j]== 1){current_Len--;result[current_Len]=x[i- 1];Display_Lcs(i-1, j-1, x, b, current_Len);}else{if(b[i][j] == 2){Display_Lcs(i-1, j, x, b, current_Len);}else{if(b[i][j]==3){Display_Lcs(i, j-1, x, b, current_Len);}else{Display_Lcs(i-1,j,x,b, current_Len);}}}}int main(int argc, char* argv[]){string x;string y;cin>>x>>y;int xlen = x.length();int ylen = y.length();//int b[X + 1][Y + 1];int lcs_max_len = Lcs_Length( x, y, b, xlen,ylen );//cout << lcs_max_len << endl;Display_Lcs( xlen, ylen, x, b, lcs_max_len );//打印结果如下所示for(int i = 0; i < lcs_max_len; i++){cout << result[i];}cout << endl;return 0;}
算法复杂性：
• 时间复杂性
– 计算代价的时间
• (i, j)两层循环,i循环m步, j循环n步
• O(mn)
– 构造最优解的时间: O(m+n)
– 总时间复杂性为：O(mn)
• 空降复杂性
– 使用数组C和B
– 需要空间O(mn)
