《编程之美》里有个题目是要求数组中最长递增子序列,在CSDN上看到的题目是数组中的最长递减子序列。题目如下:
求一个数组的最长递减子序列
比如{9,4,3,2,5,4,3,2}的最长递减子序列为{9,5,4,3,2}
求一个数组的最长递增子序列
比如{1,-1,2,-3,4,-5,6,-7}的最长递减子序列为{1,2,4,3,6}
最长递增序列和最长递减子序列的解法是一样的,最不济,也可以先revert,求完再revert一次。
首先我们得搞清一个范围问题,虽然我们要的是一个最大值,但是是不是他是可以递推的呢,就是我只保存一个最大值,然后不断增加这个值,直觉上看应该是不太现实的,比如:12345-101234,我们数到5时最大值是5,但往后看时,都比5小,不能增加最大值,但事实上是最大值是6,如果我们受限于前面求的的一个最大值,就会产生错误的结果,也许你可以说,我就是保存一个值,没到一个点我就重新算新的最大值,虽然牺牲一点计算,但是我就想只有一个变量,有思路吗?如果没有就换个思路吧。既然递推困难,我们就把各个备选值都列出来,然后找出那个最大的,那哪些是备选值呢?其实以任意元素为终点的递增序列都是合法的candidate。
解法1:
如同上面的分析,考虑一个序列x0, x1,x2,… xn-1, xn。我们想知道以每个元素为终点的最长递增子序列的长度,令temp[i]表示以xi为终点的递增序列的长度,假设已经知道了temp[0]-temp[n-1],那如何求temp[n]呢?如果xi
#include
usingnamespacestd;
intLIS(intarr[],intn)
{
int*temp=newint[n];//存放当前遍历位置最长序列for(inti=0;i
{
temp[i]=1;//初始化默认长度for(intj=0;j
//当前值array[i]跟已经遍历的值比较,//大于已经遍历的值且已知递增序列+1大于当前值则更新当前最长递增序列值if(arr[i]>arr[j]&&temp[j]+1>temp[i])
{
temp[i]=temp[j]+1;
}
}
}
intmax=temp[0];
for(intk=0;k
if(max
max=temp[k];
}
returnmax;
}
intmain()
{
intarr[]={1,-1,2,-3,4,-5,6,-7};
intresult=LIS(arr,8);
cout<
}
解法2:
解法1中用一个数组存储以各个元素为终点的最长递增子序列的长度,然后每新增加一个元素时,就遍历前面所有的元素,来知道新元素的temp值,复杂度是O(n2)。每个元素都得求一遍,这是毋庸置疑的,求法上能不能优化一下呢?那就把前面元素和其最长递增序列值排个序吧,当求xn的最长递增序列时,找到前面的序列中比xn小的最大值(可能有多个,位置不同时,序列长度也会不一样),然后加一个1就可以了。代码如下:
解法3:
相类似于解法2,我们不是把序列排序,而是按照序列长度排序,并记录特定长度序列下终点元素的最小值,然后用xn跟这些最小值比,当然我们可以用折半查找,代码如下:
#include
usingnamespacestd;
intLIS(intarray[],intn)
{
inttemp[n];//存放当前遍历位置最长序列intMaxV[n];//最长子序列中最大值之间的最小值MaxV[1]=array[0];//初始序列长度为1的子序列中最大值的最小值MaxV[0]=-9999;//边界值
for(inti=0;i
{
temp[i]=1;//初始化默认长度}
intnMaxLis=1;
intj;
for(inti=0;i
{
for(j=nMaxLis;j>=0;--j)//找出前面最长的序列{
if(array[i]>MaxV[j])//当前值大于长度为j的子序列中最大值之间的最小值{
temp[i]=j+1;
break;
}
}
if(temp[i]>nMaxLis)//在最长子序列时停止(这时只有一个最长的){
cout<
nMaxLis=temp[i];
MaxV[temp[i]]=array[i];
}
elseif(MaxV[j]
{
MaxV[j+1]=array[i];
}
}
returnnMaxLis;
}
intmain()
{
intarr[]={1,-1,2,-3,4,-5,6,-7};
intresult=LIS(arr,8);
cout<
}
解法4:
还记得我们关于序列的一个经典问题:最长公共子序列。是不是可以转化呢?将原序列排序,并和原序列求最长公共子序列,求得的最长公共子序列长度就是最长递增子序列的长度。
Reference