线性代数之矩阵基础点常见概念与示例汇总
矩阵的定义
由m乘n个数（i∈[1,m], j∈[1,n],i、j∈Z）排成的m行n列的数表记作矩阵A：
几点说明：
矩阵，记作A或者，其中它的第i行j列元素，叫做矩阵的元（素）。只有一行的矩阵称之为行矩阵又叫行向量，列向量类似。如
行矩阵：A=（1，4，5），通俗形式
列矩阵：，通俗形式
注：这里的都是数。
只有如果矩阵A和B的行数、列数都相等，则成为同型矩阵。矩阵A和B相等当且仅当A和B是同型的、每个元素都相等。对角矩阵 ，它是一个方阵，除了对角线元素外其它元素都为0。它一般表示为：单位矩阵E(又简写为I)，它是一个方阵，除了对角线元素为1外其它元素都为0。由此可见单位矩是特殊的对角矩阵。元素都是0的矩阵称为零矩阵，记作0。零矩阵分型，不同型的零矩阵不相等。型即“型号”由矩阵的行数和列数决定。
矩阵的运算
矩阵相加
两个同型矩阵A和B相加，即相对应元素相加。这里两矩阵都是m行n列。
不难发现矩阵相加有如下规律：
A+B = B+A （交换律）
A+B+C = A+（B+C）(结合律)
A+（-B） = A - B
A+（-A） = A – A = 0 (这里的零矩阵跟A是同型矩阵)
数乘矩阵
数λ乘矩阵A记作λA或Aλ，即矩阵的每个元素都乘以λ，其形式见下：
不难发现：
(λμ)A=λ(μ)A (结合律)
(λ+μ)A =λA+μA (分配律，含加和乘运算)
λ(A+B)= λA+λB (分配律)
矩阵相乘
设A为 的矩阵，B为 的矩阵，那么称 的矩阵C为矩阵A与B的乘积，记作 ，其中矩阵C中的第 行第 列元素可以表示为：
所示：
注意事项：
当矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，A与B可以相乘。矩阵C的行数等于矩阵A的行数，C的列数等于B的列数。乘积C的第m行第n列的元素等于矩阵A的第m行的元素与矩阵B的第n列对应元素乘积之和。
基本性质:
(AB)C=A(BC) （乘法结合律）(A+B)C=AC+BC（乘法左分配律）C(A+B)=CA+CB(乘法右分配律)k(AB）=(kA)B=A(kB）(数乘的结合性)矩阵乘法一般不满足交换律,即AB不一定等于BA。见下示例:（这里E是单位阵）一般成BA为B左乘A，AB为B右乘A。
应用案例：
矩阵的幂
类似于数的幂，矩阵也可以进行幂运算，比如。这里A显然是个方阵。
不难发现：
对于不同型的矩阵A、B，一般不满足 。当且仅当AB=BA时，即A、B可交换（显然这里A、B是同型方阵）时上式满足。
有了矩阵的乘法，如下方程组可以用矩阵相乘的方式表示：
Y = AX，
矩阵转置
将矩阵的行列的对应元素互换得到的新矩阵叫做该矩阵的转置，记作
不难发现：
（简言之AB的转置等于B先转置乘A的转置，简单的理解AB转置后的型取原B的列在前、原A的行在后，对应B先转置乘A的转置即B列在前、A的行在后）
对于方阵A，如果（即以对角线为轴左右对应元素相同，），则A称为对称矩阵。
矩阵的行列式
方阵A的元素构成的行列式即成为矩阵的行列式，记作|A|或者detA，det是Determinant的缩写。
假设A、B均为n阶方阵，这里有：
(因矩阵数乘是每个元素都乘以λ，这里A是n阶的，所以取行列式时是λ的n次方)
|AB|=|A||B| =|BA|
伴随矩阵
由行列式|A|的代数余子式Aij 的转置所构成的矩阵，见下
叫做矩阵A的伴随矩阵。或者见如下表示:
伴随矩阵的求法:
先按行求出|A|里每个元素的代数余子式构建矩阵时按列存放。
不难发现：
简要证明：
因为这里按照矩阵相乘(行乘列)，行列式代数余子式展开两个特性，某行元素乘以其代数余子式等于行列式的值，乘以非对应代数余子式为0。所以AA*的矩阵，所有主对角线元素都是|A|，其它元素均为0)
注：异乘变零定理是某行元素与另一个行的代数余子式相乘之和等于0。
不难证明
矩阵的逆
针对一个n阶的矩阵A，如果存在一个n阶的矩阵B满足AB=BA=E,则称A是可逆的， B是A的逆。这里的B也记作
A可逆则|A|≠0(有定义得知)
如果|A|≠0，则A可逆，且= A*/|A| （由伴随矩阵定义得知）
如果|A|=0，则成矩阵A是奇异矩阵，退化的，反之为非奇异矩阵。
关于矩阵的逆
如果A可逆，则A逆的逆是A，即 ()=A，（类似矩阵的转置）如果A可逆，λ≠0，则(λA) =1/λ如果A、B是同阶的且均可逆,AB也可逆，且 (AB) = BA
分块矩阵
将矩阵的相互独立的部分分块即得到分块矩阵，如下：
不难发现
和A、B两个矩阵单独比分块时相乘的结果相同。
矩阵法看克拉姆法则
如果方阵A的行列式|A|≠0,则方程AX=b有唯一解且
（即左边左乘A-1 得到x，这里A*是A的伴随矩阵，详见上述说明）
初等变换
对调两行(对调i，j两行，记作 以不等于0的数k乘某行里的所有元素(第i行乘k，记作)把某一行的所有元素的k倍加到另外一行对应的元素上取（第j行的k倍加到第i行上，记作）以上3种对矩阵的运算叫做初等行变换。如果这里的行换成列，则称为初等列变换。初等行和列变换统称为初等变换。
初等行变换的特点：
初等行变换是可逆的
初等行变换的逆变换是同一类型的变换。(如）
初等变化法求矩阵的逆
初等变换法(只做行变换) (A,E)-->行(E, ) 的处理步骤：
step1：在行列式右边新增个E并用虚线分开
step2：对左边的A处理成E时先第1列，再第2列，再第3列
step3：对一整行就行变换操作
step4：以前处理时参与运算的行不再参与运算
step4：运算过程以箭头表示不是等号
step4：只做初等行变换step3中形式 对换行、乘以个数加到另外个行上、行乘个数)
step4： 不管是否可逆，如果左边划不成E则说明A不可逆
初等矩阵
单位矩阵经过一次初等变换得到矩阵叫做初等矩阵。
矩阵等价
矩阵A经过有限次初等（或单独行、单独列）变换得到矩阵B，记作A(行或列)等价于B，记作 A ～B。
等价的性质:
1) 反射性 A和它本身等价
2) 对称性 A和B等价，则B和A是等价的
3) A等于B B等价于C 则A等价于C
针对矩阵A、B（m×n）有以下结论：
A行等价于B的充要条件是存在m阶的可逆矩阵P使得 PA=B (P左乘A等于B)A列等价于B的充要条件是存在n阶的可逆矩阵Q使得 AQ=B (Q右乘A等于B)A等价B的充要条件是存在m阶的可逆矩阵P和n阶的可逆矩阵Q使得PAQ=B矩阵A可逆的充要条件是A行等价与单位矩阵。方阵A可逆的充要条件是存在有限个初等矩阵 使得A=
这里矩阵的初等变换和矩阵的乘法结合上。
行阶梯型矩阵
针对矩阵可以画出一个阶梯线，
该线的下方全为0每个台阶只有一行台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度是一行）后面的第一个元素是非零元
注：这里阶梯竖线后的非零元不是一定都是1。
行最简阶梯型
满足行阶梯型的同时，又满足以下条件：
非零行的首非零元是1且零元所在列的其它元素都是0
标准型
对行简化型再实施初等列变换则可以化成更简单形式的矩阵（该矩阵的左上角是单位阵，其它元素全为0），该矩阵叫做标准型。
对于m×n的矩阵A，总可以通过初等变换（行或列）转换成标准型。
K阶子式
在m×n的矩阵A中，任取k行、k列(k小于等于m、k小于等于n)，位于这些行和列交叉处的个元素，在不改变原有次序的情况下组成的矩阵叫做矩阵A的k阶子式。
不难发现矩阵A有个k阶子式。
比如有矩阵A
比如取第1行，第3行，第1列，第4列交叉上的元素组成的子式即为其一个2阶子式。即按照如下划线操作：
即其中的一个2阶子式是：
矩阵的秩
设在m×n的矩阵A中有一个不等于0的r阶子式D，且所有r+1阶子式全等于0，则D是该矩阵的最高阶非零子式。非零子式的最高阶数即叫做矩阵的秩 记作R(A) r是rank的缩写。
不难发现
矩阵的秩 R(A)大于等于0小于等于min{m,n}。r(A) = m 取了所有的行，叫行满秩r(A) = n 取了所有的列，叫列满秩r(A) < min{m,n}则叫做降秩A是方阵，A满秩的充要条件是A是可逆的(转换为A的行列式不等于0，所以可逆)r(A) = r的充要条件是有一个r阶子式不为0，所有r+1阶子式为0矩阵A（m乘n阶）左乘m阶可逆矩阵P，右乘n阶可逆矩阵Q，或者左右乘可逆矩阵PAQ不改变其秩。对矩阵实施(行、列）初等变换不改变矩阵的秩阶梯形矩阵的秩 r(A)等于非零行的行数。A的秩等于A转置的秩任意矩阵乘可逆矩阵，秩不变
增广矩阵
增广矩阵是线性方程组里的一个常见概念。
在系数矩阵的右边添上一列，该列由线性方程组等号右边的值按照顺序拼接而成，该新的矩阵叫做方程组的增广矩阵。针对如下线性方程组，我们不难得到
其系数矩阵（即由每个未知量前的系数按照顺序组成的矩阵）是
而我们假设一列(方程组右边的值)构成新的矩阵即叫做该方程组的增广矩阵
或者更一般的，如果我们把线性方程组简写为Ax=b那么增广矩阵B可以记作(A,b)。
矩阵的迹
矩阵对角元素的和即成矩阵的迹，
不难发现迹有如下性质
注：这里A、B是同型的矩阵。
