在上学期的教学过程中，同学们对“否命题”与“命题的否定”常常混淆不清，在学习四种命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)时，对于否命题的认识不会有什么疑问，但在学习了或、且、非命题之后，却弄不清楚两者的区别了，这说明我们在学习过程中对两个概念的理解还不够透彻、不够准确，这里我对“否命题”与“命题的否定”这两个概念做一个详细的阐述。
一、否命题：一个命题是“如果p,那么q”的形式时，它的否命题是既否定条件又否定结论，即“如果p,那么q”。原命题和其否命题的真假关系不确定，可能同真可能同假也可能一真一假。
1．要想写出否命题，需先把原命题改写成“如果(若)……那么(则)……”的形式。
例1：(1)原命题：若三角形中有两边相等，则其对角相等。(真)
否命题：若三角形中有两边不等，则其对角也不相等。(真)
(2)原命题：若两角为对顶角，则此二角相等。(真)
否命题：若两角不是对顶角，则此二角不相等。(假)
(3)原命题：若四边形的四边相等，则为正方形。(假)
否命题：若四边形四边不等，则不是正方形。(真)
(4)原命题：若|x+1|=2，则x=10。(假)
否命题：若|x+1|≠2，则x≠10。(假)
例2：(1)原命题：正方形的四条边相等。
改写为：如果一个四边形为正方形，那么这个四边形的四条边相等。(真)
否命题：如果一个四边形不是正方形，那么这个四边形的四条边不相等。(假)
(2)原命题：负数的绝对值等于它的相反数。
改写为：如果x<0，那么|x|=-x。(真)
否命题：如果x≥0，那么|x|≠-x。(假)
2．如果一个命题没有改写成“如果(若)……那么(则)……”的形式，我们就不能试图去写它的否命题。
例3：(1)2>1；
(2)2+i是复数；
(3)人是生物；
(4)太阳比地球大。
这些命题很难找出条件和结论，无法快捷地写成“如果(若)……那么(则)……”的形式，所以，我们将不再要求写它们的否命题。
其实这些命题不是不能改写成“若……则……”的形式，只是这些命题的条件会用到相应学科的原始概念，是我们不能简单表述的，故不要求同学们在这上面投入无意义的精力。
二、命题的否定：一般地，对于一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作 “p”，叫做命题p的否定。一个命题与它的否定形式是完全对立的，两者之间有且只有一个成立。命题与其否定的关系，本质上等同于集合与其补集的关系、或者互为对立事件的关系。
对于命题的否定，从以下几种情况进行逐步理解：
1．简单命题的否定：
不含“或”“且”“非”“如果那么”等词语的简单命题，写其否定形式的关键，是否定其中的“谓语部分”，即用来表示判断的词语。下面写出一些常用词语和它的否定词语(前面为原词语，后面为否定词语)：
等于， 不等于；
大于， 不大于(小于或等于)；
小于， 不小于(大于或等于)；
都是， 不都是；
至多有一个， 至少有两个；
至多有n个， 至少有n＋1个；
至少有一个， 一个也没有；
任意的， 某一个；等等。
例4：(1)命题p：2>1(真)；命题p：2≤1(假)；
(2)命题p：2+i是复数(真)；命题p：2+i不是复数(假)；
(3)命题p：1+1≠2(假)；命题p：1+1=2(真)；
(4)命题p：空集是任何集合的真子集(假)；命题p：空集是某些集合的真子集(真)。
2．含有一个逻辑联结词“或()”“且()”的命题的否定：
“p且q”的否定是“p或q”； “p或q”的否定是“p且q”。
例5：(1)命题p：2是6的约数且2是4的约数(真)；
命题p：2不是6的约数或2不是4的约数(假)；
(2)命题p：|x-1|=2的实数根是-1或者3；
命题p：|x-1|=2的实数根不是-1而且不是3(假)。
3．全称命题和特称命题命题的否定：
全称量词()的否定为特称量词()，特称量词的否定为全称量词。写含全称量词或特称量词的命题的否定时，既要否定结论，还要否定相应的量词。
例6：(1)命题p：x∈R，x2>0(假)；
命题p：x∈R，x2≤0(真)；
(2)命题p：有的菱形是正方形(存在)(真)；
命题p：所有的菱形都不是正方形(任意)(假)。
三、(这一条较难理解)条件或结论中含有“或”“ 且”等逻辑联结词的命题的否命题：在否定条件和结论时，注意同时否定联结词。如：
原命题：如果p q，那么st；否命题：如果pq，那么st。(其他情况雷同)
例7：(1)命题p：若x2=1，则x=1或x=-1(真)；
命题p：若x2≠1，则x≠1且x≠-1(真)；
(2)命题p：各内角相等且各边相等的多边形为正多边形，(真)；
命题p：(若)内角不全相等或者各边不全相等的(则)多边形不是正多边形(真)；
(3)命题p：圆内垂直平分弦的直线过圆心且平分该弦所对的弧；(真)
命题p：(若)圆内与弦不垂直或者不平分弦的直线，(则该弦)不过圆心或者不平分线索对的弧。(真)；
(4)命题p：若x=1或者x=2，则x(x-1)=0或者x(x-2)=0(真)；
命题p：若x≠1且x≠2，则x(x-1)≠0且x(x-2)≠0(假)。
四、(这一条非常重要，也是我们最容易弄错的)“如果A，那么B”的否定：这些命题其实可以看做是全称命题“只要A成立，就有B成立”，而全称命题的否定应该是特称命题，故其否定应该是“存在A成立，使B不成立”。这也说明命题的否定并不是简单地只否定结论。
例8：(1)命题p：若x2>4，则x>2(假)；
如果我们认为只需否定结论就能得到p，就会出现这样的情况：
命题p：若x2>4，则x≤2(假)；
p与p竟然都是假命题，这与它们真值相反是矛盾的。
我们换个方法理解命题p：对x2>4，总有x>2(假)，则其否定显然是：
命题p：x2>4，满足x≤2(真)；
(2)命题p：若x2=4，则x=2(假)；
命题p：x满足x2=4，使x≠2(真)；
如果我们用集合的观点理解命题，每个命题实质上对应的都是集合。为了便于表述，不妨把命题A与B对应的集合还用A、B表示，这个时候很容易理解：“若A，则B”等价于“x∈Ax∈B”，那么其否定应为“x∈Ax∉B”。
五、小结：
否命题注重的是形式结构，需先把原命题改写成“如果A，那么B”的形式，再否定条件和结论，得到否命题：“如果A，那么B”；不能改写成“如果……那么……”的命题就不要写否命题。
命题的否定(p)注重本质，必须是相互排斥、对立、互补的，用集合的观点理解，命题的否定就是求补集。写含全称量词或特称量词的命题的否定时，既要否定结论，还要否定相应的量词。“若A，则B”等价于“x∈Ax∈B”，那么其否定应该为“x∈Ax∉B”。
景于行数学手抄报 景于行数学小报分享提高数学的知识技能在线小班课 就上景于行 景于行 超级小班 让北京郊区的孩子，在家就能享受海淀教育。港澳台联考景于行港澳台华侨生联考，传递来自北京的联考教学品质
