看Boyd的凸优化看到这样一个证明：

从左到右的证明是

使用了一个逆否命题的方法进行证明，有点忘记了原命题和逆否命题之间的相互转换，记录一下。

简单形式命题

简单形式命题没有全称量词 ∀ \forall ∀和存在两次 ∃ \exists ∃，也没有或与非 ∨ \vee ∨ ∧ \wedge ∧：若p, 则q形式

先从简单的例子出发，比如原命题【 若 p , 则 q 若p, 则q 若p,则q】：

如果一只鸡会下蛋，那么它是母鸡。

逆否命题【 若 ¬ q , 则 ¬ p 若\neg q,则\neg p 若¬q,则¬p】：

如果一只鸡不是母鸡，那么它不会下蛋。

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前后都进行否定，然后颠倒顺序。

全称量词&存在量词

∀ x ∈ M , p ( x ) \forall x\in M, p(x) ∀x∈M,p(x)的否定： ∃ x 0 ∈ M , ¬ p ( x 0 ) \exists x_0\in M, \neg p(x_0) ∃x0​∈M,¬p(x0​)

∀ x ∈ M , ¬ p ( x ) \forall x\in M, \neg p(x) ∀x∈M,¬p(x)的否定： ∃ x 0 ∈ M , p ( x 0 ) \exists x_0\in M, p(x_0) ∃x0​∈M,p(x0​)

∃ x 0 ∈ M , p ( x 0 ) \exists x_0\in M, p(x_0) ∃x0​∈M,p(x0​)的否定： ∀ x ∈ M , ¬ p ( x ) \forall x\in M, \neg p(x) ∀x∈M,¬p(x)

∃ x 0 ∈ M , ¬ p ( x 0 ) \exists x_0\in M, \neg p(x_0) ∃x0​∈M,¬p(x0​)的否定： ∀ x ∈ M , p ( x ) \forall x\in M, p(x) ∀x∈M,p(x)

否定时全称量词和存在量词互改，其后的命题改为命题的否定。

我们再举母鸡的例子，比如原命题【 若 ∀ x ∈ M , p ( x ) , 则 q 若\forall x\in M, p(x), 则q 若∀x∈M,p(x),则q】：

对于任意鸡，如果这只鸡会下蛋，那么它是母鸡。

这里可以把 ∀ x ∈ M , p ( x ) \forall x\in M, p(x) ∀x∈M,p(x)看作一个命题。我们只需要进行命题的否定。逆否命题就是【 若 ¬ q , 则 ∃ x 0 ∈ M , ¬ p ( x 0 ) 若\neg q,则\exists x_0\in M, \neg p(x_0) 若¬q,则∃x0​∈M,¬p(x0​)】

如果一只鸡不是母鸡，那么存在一只这样的鸡，它不会下蛋。

逻辑词 与&或

p ∧ q p\wedge q p∧q的否定： ¬ ( p ∧ q ) ⇔ ¬ p ∨ ¬ q \neg{(p\wedge q)}\Leftrightarrow \neg{p\vee\neg q} ¬(p∧q)⇔¬p∨¬q

p ∧ ¬ q p\wedge \neg q p∧¬q的否定： ¬ ( p ∧ ¬ q ) ⇔ ¬ p ∨ q \neg{(p\wedge \neg q)}\Leftrightarrow \neg{p\vee q} ¬(p∧¬q)⇔¬p∨q

¬ p ∧ q \neg p\wedge q ¬p∧q的否定： ¬ ( ¬ p ∧ q ) ⇔ p ∨ ¬ q \neg{(\neg p\wedge q)}\Leftrightarrow{p\vee\neg q} ¬(¬p∧q)⇔p∨¬q

¬ p ∧ ¬ q \neg p\wedge \neg q ¬p∧¬q的否定： ¬ ( ¬ p ∧ ¬ q ) ⇔ p ∨ q \neg{(\neg p\wedge \neg q)}\Leftrightarrow {p\vee q} ¬(¬p∧¬q)⇔p∨q

否定时把与和或逻辑词互换，将括号内的每一项都换成否定即可。

我们还是举母鸡的例子，比如原命题【 若 ∀ x ∈ M , p ( x ) , 则 q ∧ r 若\forall x\in M, p(x), 则q\wedge r 若∀x∈M,p(x),则q∧r】：

对于任意鸡，如果这只鸡会下蛋，那么它是母鸡而且已经成年。

逆否命题就是找一个反例【 若 ¬ q ∨ ¬ r , 则 ∃ x 0 ∈ M , ¬ p ( x 0 ) 若\neg q\vee\neg r,则\exists x_0\in M, \neg p(x_0) 若¬q∨¬r,则∃x0​∈M,¬p(x0​)】

如果一只鸡不是母鸡或一只鸡没有成年，那么存在一只这样的鸡，它不会下蛋。