一、问题的提出
新教材使用后第二次教学小数除法，同事们有的按新教材的教学顺序教、有的仍然按老教材的教学顺序教，感觉老教材更符合学生的认知规律，易于学生接受。我想研究一下到底哪一种教学顺序更适合学生。并且以往的经验告诉我，小数除法的计算对于学生来说比较难，错误率高，想研究一下哪一类小数除法竖式计算错误率高，错在何处，为什么难于掌握。
二、研究方法
本研究主要采用测验法、定性分析法、统计分析法。
制定小数除法竖式计算试卷一份，包括9道题，9个类型。A类：小数除以整数商小数；B类：小数除以小数商小数；C类：小数除以小数商整数；D类：整数除以整数商小数；E类：整数除以小数商整数；F类：首位商“0”；G类：中间商“0”；H类：首位和中间都商“0”；I类：中间商“0”，且除到被除数末位仍有余数，需补“0”继续除。对本年级172名学生进行测验，限时完成，并将有效试卷进行统计，作为研究的依据。
本次测验收集了172份有效试卷，并进行了错误统计。
类型
班级
每类错题人数
每题错误率
每类不同教法错题人数
每类不同教法错误率
每类总错题人数
每类总错误率
A1
(1)班
0%
0
0%
5
2.9%
(2)班
0%
(3)班
5
2.9%
5
2.9%
(4)班
0%
B2
(1)班
3
1.7%
7
4.1%
8
4.7%
(2)班
4
2.3%
(3)班
1
0.6%
1
0.6%
(4)班
0%
C3
(1)班
0%
3
1.7%
4
2.3%
(2)班
3
1.7%
(3)班
0%
1
0.6%
(4)班
1
0.6%
D4
(1)班
3
1.7%
6
3.5%
6
3.5%
(2)班
3
1.7%
(3)班
0%
0
0%
(4)班
0%
E5
(1)班
5
2.9%
10
5.8%
13
7.6%
(2)班
5
2.9%
(3)班
2
1.2%
3
1.7%
(4)班
1
0.6%
F6
(1)班
1
0.6%
5
2.9%
12
7.0%
(2)班
4
2.3%
(3)班
5
2.9%
7
4.1%
(4)班
2
1.2%
G7
(1)班
1
0.6%
4
2.3%
8
4.7%
(2)班
3
1.7%
(3)班
4
2.3%
4
2.3%
(4)班
0%
H8
(1)班
3
1.7%
13
7.6%
29
16.9%
(2)班
10
5.8%
(3)班
8
4.7%
16
9.3%
(4)班
8
4.7%
I9
(1)班
9
5.2%
18
10.5%
38
22.1%
(2)班
9
5.2%
(3)班
15
8.7%
20
11.6%
(4)班
5
2.9%
从统计的数据中可以看出小数除法竖式计算的错误具有以下特点：
(一)A、F、H、I四类按照老教材讲错误率高；B、C、D、E四类按照新教材讲错误率高。
翻阅试卷发现A类仅按老教材讲授的一个班有5人出现错误，且都属于做减法的步骤计算错误，不是方法错误，所以不能说明问题。纵观两套教材，教学顺序如下：老教材先讲小数除以整数商小数的；再讲小数除以整数商小数且各位、十分位不够商“1”需用“0”占位的；接着是整数除以整数，除到被除数末位仍有余数需补“0”继续除，商小数的；然后是小数除以小数，其中除数的小数位数比被除数的小数位数少，商小数的；最后是小数除以小数，其中除数的小数位数比被除数的小数位数多，移动被除数的小数点位置时需补“0”，商小数的。新教材也是先讲小数除以整数商小数的；接下来就不同了，是小数除以小数，其中除数的小数位数比被除数的小数位数少，商小数的；再讲小数除以整数商小数，且个位、十分位不够商“1”需用“0”占位的；然后是小数除以整数、整数除以整数，除到被除数末位仍有余数需补“0”继续除，商小数的；最后是小数除以小数，其中除数的小数位数比被除数的小数位数多，商小数的。从分析中不难发现例题中的第一个和最后一个类型两套教材完全相同。测验的结果显示F、H、I三类在老教材中是例2的内容，B、C在新教材中相当于老教材例2的内容。看来在学习的开始阶段，最新学习的掌握得比先学的掌握得好。A类不同，因为它是小数除法学习中最基础的，后续学习中都用得到，所以掌握得好。
(二)A类最简单，但错误率却不是最低。
因为无论老教材还是新教材都先学这一类小数除法，它是学习其他类型小数除法的基础。但是测验结果显示却不是这样，比C类错误率还要高。仔细查看试卷发现原因这一类错误集中在其中一个班，都是计算错误。其中有一位学生得11.5，因为第一次商1后，“6”减去“5”应该等于1，不知什么原因他直接拉下7接着除了，结果就错了；四位学生得13.7，是因为第二次商3后“17”-“15”做减法应该等于2，这几个孩子都等于3，致使结果错误。如此看来这道题根本看不出新、旧教材教学效果的不同。
(三)E类按新教材讲错误率高，按老教材讲错误率低。
奇怪的是我还发现按新教材讲出现错误10人次，其中有7人竖式写成0.18÷9了；而按老教材讲出现错误3人次，没有学生把竖式写成0.18÷9。我想这也许和学生的求易思维有关系，总是想把题目用不同的方法变简单些，可能是刚刚在小数乘法中学习简便算运算的不良后果吧。从中我们也不难看出，面对每一道题，孩子们都在尝试着用以前学习的知识、技能、学习经验解决学习中遇到的问题。这也是运用新教材，我们值得庆幸的事。但是在教学中还要加强引导，否则就误入歧途了。
(四)G类两种教学顺序错误率一样，且错误率比较低。
认真分析，这一类属于小数除以整数，通过例1的学习，又有整数除法的基础，不用移动小数点的位置，尽管上中间有商“0”，但是与整数除法相比较只有小数点的位置不同，学生在掌握了小数除法与整数除法的区别之后做起来感觉较容易，所以正确率比较高。
(五)C类错误率最低。
这道题中被除数和除数都只有一位小数，划掉被除数和除数的小数点即完成由小数到整数的转化，并且72除以18计算很简单，竖式只需一步便可以完成。看来数字的大小和竖式步骤的多少对学生计算的正确率都有影响。
(六)H类属于个位和十分位都商“0”，但错误率不是最高。
预计这一类错误率最高，但是测验结果却不是这样，这究竟是为什么呢？经过仔细研究发现，这道题虽然首位和中间都要用“0”来占位，但是竖式计算相对简单，只一步就可以完成。这样我们也就不难理解C类题为什么错误率最低了。
(七)B类错误率比C类高。
B类：3.25÷2.5被除数有两位小数，除数只有一位小数；C类：7.2÷1.8被除数和除数都一位小数，且数字相对简单。看来被除数和除数的小数位数是否相同、数字是否简单对学生的正确计算都有影响。
(八)商中有“0”的错误率高。
其中F、G、H、I都属于商中有“0”的小数除法。9道题学生一共出现错误123人次，其中这四类出现错误87人次，占错题总数的70.7%。往年教学中类似的题也易出现错误，而且还发现不仅小数除法，就是整数除法中商中有“0”的也一样容易出现错误。总是提醒孩子们做除法时拉下一位或补上一个“0”，必须商数，不够商“1”就用“0”占位，但是学生还是一而再、再而三地出现错误。看来孩子们还是不理解，不知道为什么，所以记不住。这么说是因为我对出现这类错误的学生进行了访谈，这些学生在计算除法时不知道余数的意义、商的意义，所以不清楚该商在哪一位。究其原因，学生记不住是因为他们不理解，对小数除法的算理不清楚。所以在今后的教学中，小数除法教学一定要加强算理的教学，把算理教学作为重点来处理，用多种方法(动手操作、语意表征……)，多种途径帮助孩子理解算理。
(九)I类错误率最高。这一类属于中间商“0”，且除到被除数末位仍有余数，需补“0”继续除。
错误人数38人，其中31人中间不商“0”。我特意出了一道中间商“0”的整数除法题让他们做，结果只有2.9%的学生出现不用“0”占位的错误，为什么到了小数除法中间不商“0”的占到了81.6%，错误率这么高呢？我们仔细分析这道题商完个位的“1”以后，拉下2不够除，紧接着又要补“0”继续除。如果学生在整数除法中商“0”的掌握不牢固，且补“0”除是新知，不同于整数除法，造成了错误率较高。
四、结论
通过对小数除法竖式计算的研究，初步得出以下结论：
(一)新教材与老教材的教学顺序，并不影响学生的学习效果。
统计结果显示两种教学顺序总的教学效果难分伯仲。但是可以见证一点,那就是使用新教材之后学生的思维比以前活跃了，深刻性还有待提高；有了尝试用不同方法解决问题的意识，只是方法的选择过于简单，正确率不高。这就对我们使用新教材教，学生用新教材学有了更高的要求。
(二)小数除法竖式计算的错误率与步骤多少、能否除尽以及被除数和除数的小数位数是否相同等有关系。
步骤少的错误率就低，步骤多的错误率就高；错误率还与能否除尽有关，能除尽的错误率低，不能除尽，需补“0”继续除的错误率高。错误率与先学、后学无太大关系。从错误分布统计看错误率还与被除数和除数的小数位数有关系，小数位数相同的错误率就低，小数位数不同的错误率就高。
(三)当商中有“0”且需要补“0”继续除时错误率最高。
教师在教学中应该加强算理的教学，强调对余数和商的意义的理解，只有这样学生才能真正理解和掌握这一类小数除法的竖式计算。统计结果发现首位商“0”的错误率不是最高，H类虽然错误率为16.9%，但是查看试卷发现没有首位不知道商“0”的。看来教师在教学中对小数除法首位商“0”这一教学重点的处理到位。相比之下对于较难的需补“0”继续除且中间商“0”这一教学难点的突破力度不够，对学情的预测和教学重、难点的把握不是很准确。总而言之还是对算理不理解。
(四)求易思维对学生解题有一定的影响。
例如：9÷0.18，从乘法口诀中2×9=18，所以计算18÷9很简单，于是0.18÷9比9÷0.18要简单，致使学生很容易将竖式写成成0.18÷9。这使我想到了考试时在口算中经常有这样的题：16×4÷16×4，同样的类型小数计算也一样，学生很容易出现错误，这都是求易思维在作怪。在教学中我们不仅要教学生找到简便的方法，有求简的意识，而且还要做到异中求同，那就是无论方法简单与否，结果都应该一样。在检查时最好用不同的方法来计算，结果相同才能确保正确。
