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1. 定义2. 变换和处理3. 函数4. 实例演示例1：单频正弦信号（整数周期采样）例2：含有直流分量的单频正弦信号例3：正弦复合信号例4：含有随机干扰的正弦信号例5：实际案例5. 联系作者1. 定义
上一篇研究了Matlab如何进行离散傅里叶变换DFT(快速傅里叶变换FFT)进行频谱分析。工程上我们还会遇到这样的问题：获取了信号的频谱，希望从信号的频谱来恢复时域信号。这一篇来研究如何进行利用离散傅里叶逆变换（iDFT）从频谱中恢复时域信号。
离散傅里叶逆变换 (iDFT)的定义为：
x(n)=iDFT[X(k)]=1N∑k=0N−1X(k)ej2πNnkx(n) = {\rm{iDFT}}[X(k)] = \frac{1}{N}\sum\limits_{k = 0}^{N - 1} {X(k){e^{j\frac{{2\pi }}{N}nk}}}x(n)=iDFT[X(k)]=N1k=0∑N−1X(k)ejN2πnk, 0≤n≤N−10 \le n \le N-10≤n≤N−1
式中，x(n)x(n)x(n)为时域离散采样序列（通常为实数序列），NNN为时域离散采样序列x(n)x(n)x(n)的长度，X(k)X(k)X(k)为频域离散采样序列（通常为复数序列）。
也存在快速傅里叶逆变换（iFFT）来实现iDFT的快速算法，其主要作用也是减小计算量、节约计算资源、便于在线计算。
2. 变换和处理
Matlab软件自带ifft函数实现快速傅里叶逆变换算法，与上一篇DFT变换一样，要想从频谱恢复时域信号，也需要解决以下问题（建议与上一篇对应起来看）：
a) 幅值变换：真实频谱幅值乘以N/2N/2N/2得到频谱序列X(k)X(k)X(k)的幅值∣X(k)∣|X(k)|∣X(k)∣；
b) 频谱延拓：真实频谱的频率范围为0−fs/20-f_s/20−fs/2，而参与iDFT变换的频谱序列X(k)X(k)X(k)为两部分共轭复数序列组成，因此需要对物理频谱进行延拓得到X(k)X(k)X(k)。频谱延拓的方案上图所示。
c) 直流信号的处理：直流信号幅值乘以2，再进行幅值变换乘以N/2N/2N/2，得到频谱序列X(k)X(k)X(k)的直流分量∣X(0)∣|X(0)|∣X(0)∣。
3. 函数
作者在Matlab软件自带ifft函数的基础上，使用Matlab开发了函数iDFT.m，通过函数来实现上述幅值变换、频谱延拓和直流信号的处理，能够直接从从频谱恢复时域信号，函数简单、易用、通用性好。
function [xn,t] = iDFT(X_m,X_phi,ts,drawflag)% [xn,t] = iDFT(X_m,X_phi,ts) 离散序列的快速傅里叶逆变换，频域转换为时域信号% 输入 X_m为幅值向量%X_phi为相位向量，单位为°%ts为序列的采样时间/s%drawflag为绘图标识位，取0时不绘图，其余非0值时绘图，默认为绘图% 输出 xn为离散序列向量% t为与xn对应的时间向量% 注意计算出来的0频分量在进行ifft计算时，幅值应乘以2% By ZFS@wust % 获取更多Matlab/Simulink原创资料和程序，清关注微信公众号：Matlab Fans
4. 实例演示
下面结合实例进行演示和分析。
例1：单频正弦信号（整数周期采样）
%% Eg 1 单频正弦信号ts = 0.01;t = 0:ts:1;A = 1.5; % 幅值 f = 2; % 频率w = 2*pi*f; % 角频率phi = pi/3; % 初始相位 x = A*cos(w*t+phi); % 时域信号figureplot(t,x)xlabel('时间/s')ylabel('时域信号x(t)')% DFT变换将时域转换到频域,并绘制频谱图[f,X_m,X_phi] = DFT(x,ts);% iDFT逆变换将频域转换到时域,并绘制时域图[xn,t2] = iDFT(X_m,X_phi,ts);hold onplot(t,x,'r--')legend('恢复的时域信号','原始时域信号')
结果：
例2：含有直流分量的单频正弦信号
%% Eg 2 含有直流分量的单频正弦信号ts = 0.01;t = 0:ts:1;A = 1.5; % 幅值 f = 5; % 频率w = 2*pi*f; % 角频率phi = pi/6; % 初始相位 x = 0.5 + A*cos(w*t+phi); % 时域信号,带有直流偏移0.5figureplot(t,x)xlabel('时间/s')ylabel('时域信号x(t)')% DFT变换将时域转换到频域,并绘制频谱图[f,X_m,X_phi] = DFT(x,ts);% iDFT逆变换将频域转换到时域,并绘制时域图[xn,t2] = iDFT(X_m,X_phi,ts);hold onplot(t,x,'r--')legend('恢复的时域信号','原始时域信号')
结果：
例3：正弦复合信号
%% Eg 3 正弦复合信号ts = 0.01;t = 0:ts:2;A = [1.5 1 0.5 0.2]; % 幅值 f = [3 6 9 15]; % 频率w = 2*pi*f; % 角频率phi = (1:4)*pi/4; % 初始相位 x = -0.5 + A(1)*cos(w(1)*t+phi(1)) + A(2)*cos(w(2)*t+phi(2)) + A(3)*cos(w(3)*t+phi(3)) + A(4)*cos(w(4)*t+phi(4));% 时域信号figureplot(t,x)xlabel('时间/s')ylabel('时域信号x(t)')% DFT变换将时域转换到频域,并绘制频谱图[f,X_m,X_phi] = DFT(x,ts);% iDFT逆变换将频域转换到时域,并绘制时域图[xn,t2] = iDFT(X_m,X_phi,ts);hold onplot(t,x,'r--')legend('恢复的时域信号','原始时域信号')
结果：
例4：含有随机干扰的正弦信号
%% Eg 4 含有随机干扰的正弦信号ts = 0.01;t = 0:ts:2;A = [1 0.5]; % 幅值 f = [3 10]; % 频率w = 2*pi*f; % 角频率phi = (1:2)*pi/3; % 初始相位 x = A(1)*cos(w(1)*t+phi(1)) + A(2)*cos(w(2)*t+phi(2)) + 0.8*(rand(size(t))-0.5);% 时域信号figureplot(t,x)xlabel('时间/s')ylabel('时域信号x(t)')% DFT变换将时域转换到频域,并绘制频谱图[f,X_m,X_phi] = DFT(x,ts);% iDFT逆变换将频域转换到时域,并绘制时域图[xn,t2] = iDFT(X_m,X_phi,ts);hold onplot(t,x,'r--')legend('恢复的时域信号','原始时域信号')
结果：
例5：实际案例
%% Eg 5 实际案例load datats = 0.001;x = Jsd;t = [0:length(x)-1]*ts;figureplot(t,x)xlabel('时间/s')ylabel('时域信号x(t)')% DFT变换将时域转换到频域,并绘制频谱图[f,X_m,X_phi] = DFT(x,ts);% iDFT逆变换将频域转换到时域,并绘制时域图[xn,t2] = iDFT(X_m,X_phi,ts);hold onplot(t,x,'r--')legend('恢复的时域信号','原始时域信号')
结果：
上述各例中，通过iDFT恢复的时域信号与原始信号完全重合，说明利用离散傅里叶逆变换（iDFT）可以从频谱恢复时域信号。
5. 联系作者
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