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行阶梯形首变量与自由变量行阶梯形矩阵高斯消元法行阶梯形的唯一解超定方程组亚定方程组行最简形齐次方程组行阶梯形
当方程组无法化为严格三角形时，或许我们可以将其化为行阶梯型。最终得到的系数矩阵不是严格三角形，而是行阶梯形。系数矩阵的水平和垂直线段说明了系数矩阵的阶梯形式。注意，每一步在垂直方向降1，但在水平方向的扩展可能会多于1。
首变量与自由变量
增广矩阵每一行的第一恶非零元对应的变量为首变量，在化简过程中跳过的列对应的变量为自由变量，首变量可以用自由变量来表示，对于每一对给定的自由变量，均存在唯一解。
行阶梯形矩阵
定义：若一个矩阵满足
（1）每一非零行中的第一个非零元为1；
（2）第k行的元不全为0时，第k+1行首变量之前零的个数多于第k行首变量之前零的个数
（3）所有元素均为零的行必在不全为0的行之后
高斯消元法
将线性方程组的增广矩阵化为行阶梯形的过程称为高斯消元法
行阶梯形的唯一解
若方程组相容且行阶梯形矩阵的非零行构成了严格三角形方程组，则这个方程组具有唯一解。
超定方程组
若一个线性方程组中方程的个数（m）多于未知量的个数(n)，则称其为超定的，超定方程组通常（但不总是）是不相容的。
（1）若化简后矩阵的非零行构成了一个严格三角形方程组，故解唯一
（2）若化简后得我方程组存在自由变量，则方程组相容且解有无数多个。
亚定方程组
（1）若线性方程组未知量的个数（n）多于方程的个数（m）,（m<n）则称方程组是亚定的。
（2）亚定方程组有可能不相容，但通常是相容的。
（3）亚定方程组若相容，则一定是无穷多解而不可能只有唯一解。因为系数矩阵的行阶梯形式均有r<=m个非零行，则必有r个首变量和n-r个自由变量。
行最简形
当相容的方程组对应的行阶梯形中含有自由变量时，可继续进行消元过程，直到所有首变量1之上的所有元均被消去，得到的结果矩阵为行最简形的。
定义：
若一个矩阵满足
（1）矩阵是行阶梯形的
（2）每一行的第一个非零元是该列唯一的非零元。
则称该矩阵是行最简形的。
采用基本行运算将矩阵化为行最简形的过程称为高斯-若尔当消元法。
齐次方程组
线性方程组的右端项全为0；齐次方程组总是相容的，所有变量全为0就是它的一个解，所以，如果m*n齐次方程组有唯一解，则必然是其平凡解（0，0，0，…0）。当n>m时，总是存在自由变量，因此方程组存在非平凡解。
定理
若n>m,则m * n齐次方程组具有非平凡解。
