主成分分析（Principal Components Analysis, PCA）是一种常用的数据分析手段，是图像处理过程中常用到的降维方法。对于一组不同维度之间可能存在线性相关关系的数据，PCA能够把这组数据通过正交变换变成各个维度之间线性无关的数据，通过剔除方差小的那些维度上的数据，达到数据降维的目的。
PCA从原始变量出发，通过旋转变化（即原始变量的线性组合）构建出一组新的，互不相关的新变量，这些变量尽可能多的解释原始数据之间的差异性（即数据内在的结构），他们就成为原始数据的主成分。由于这些变量不相关，因此他们无重叠的各自解释一部分差异性。依照每个变量解释时差异性大小排序，他们成为第一主成分，第二主成分，以此类推。
PCA的思想是将n维特征映射到k维上（k<n），这k维特征称为主元（主成分），是旧特征的线性组合，这些线性组合最大化样本方差，尽量使用新的k个特征互不相关。这k维是全新的正交特征，是重新构造出来的k维特征，而不是简单地从n维特征中取出其余n-k维特征。
下面说一下PCA降维的算法步骤。
设有m条n维数据：
1） 将原始数据按列组成n行m列矩阵X
2）将X的每一行（代表一个属性字段）进行零均值化（去平均值），即减去这一行的均值
3）求出协方差矩阵
4）求出协方差矩阵的特征值及对应的特征向量
5）将特征向量按对应特征值大小从上到下按行排列成矩阵，取前k行组成矩阵P（保留最大的k各特征向量）
6）Y=PX 即为降维到K维后的数据
PCA算法的主要优点：
1）仅仅需要以方差衡量信息量，不受数据集以外的因素影响
2）各主成分之间正交，可消除原始数据成分间的互相影响的因素
3）计算方法简单，主要运算是特征值分解，易于实现
PCA算法的主要缺点：
1）主成分各个特征维度的含义具有一定的模糊性，不如原始样本特征的解释性强
2）方差小的非主成分也可能含有对样本差异的重要信息，因降维丢弃可能对后续数据处理有影响
利用Python实现主成分降维代码：
from numpy import *def loadDataSet(fileName, delim='\t'):fr = open(fileName)stringArr = [line.strip().split(delim) for line in fr.readlines()]datArr = [map(float,line) for line in stringArr]return mat(datArr)def pca(dataMat, topNfeat=999999):meanVals = mean(dataMat, axis=0)DataAdjust = dataMat - meanVals #减去平均值covMat = cov(DataAdjust, rowvar=0)eigVals,eigVects = linalg.eig(mat(covMat)) #计算特征值和特征向量#print eigValseigValInd = argsort(eigVals)eigValInd = eigValInd[:-(topNfeat+1):-1] #保留最大的前K个特征值redEigVects = eigVects[:,eigValInd] #对应的特征向量lowDDataMat = DataAdjust * redEigVects#将数据转换到低维新空间reconMat = (lowDDataMat * redEigVects.T) + meanVals #重构数据，用于调试return lowDDataMat, reconMat
import matplotlibimport matplotlib.pyplot as pltdataMat = loadDataSet('testSet.txt')lowDMat, reconMat = pca(dataMat,1)print "shape(lowDMat): ",shape(lowDMat)fig = plt.figure()ax = fig.add_subplot(111)ax.scatter(dataMat[:,0].flatten().A[0],dataMat[:,1].flatten().A[0],marker='^',s=90)ax.scatter(reconMat[:,0].flatten().A[0],reconMat[:,1].flatten().A[0],marker='o',s=50,c='red')plt.show()
详细完整代码及数据集下载：
点击我查看源码
参考：
/wj-1314/p/8032780.html
相关文献：http://www.cs.otago.ac.nz/cosc453/student_tutorials/principal_components.pdf
