概率论：假设检验 显著性检验

一、什么是假设检验？——以双边检验为例

用大白话来讲，假设检验就是检验（判断）某个假设是否正确，并且说出这个判断出错的概率，（判断出错包括了这个假设原本是对的，你判断它是错的；或者这个假设是错的，你判断它是对的）。

这里我引用书本上的一个例子作为说明。

例1 某车间用一台包装机包装葡萄糖.袋装糖的净重是一个随机变量,它服从正态分布.当机器正常时,其均值为0.5kg,标准差为0.015kg.某日开工后为检验包装机是否正常,随机地抽取它所包装的糖9袋,称得净重(kg)

0.497 0.506 0,518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512

问机器是否正常?

以μ\muμ,σ\sigmaσ分别表示这一天袋装糖的净重总体X的均值和标准差.由于长期实践表明标准差比较稳定,我们就设σ\sigmaσ=0.015.于是XN(μ,0.0152)X~N(\mu,0.015^2)XN(μ,0.0152),这里a未知,问题是根据样本值来判断μ\muμ=0.5还是μ\muμ≠0.5.为此,我们提出两个相互对立的假设

H0:μ=μ0=0.5H1:μ≠μ0\begin{aligned} &H_{0}: \mu=\mu_{0}=0.5 \\ &H_{1}: \mu \neq \mu_{0} \end{aligned}​H0​:μ=μ0​=0.5H1​:μ​=μ0​​

既然假设是说总体均值等于某个值（0.5），一个很自然的想法就是抽一组样本，看样本均值和假设的总体均值相差多少。如果∣xˉ−μ0∣|\bar{x}-\mu _0|∣xˉ−μ0​∣相差很多，我们就考虑拒绝这个假设。

现在就面临了两个问题，一个是当两者相差多少时我们拒绝这个假设H0H_0H0​, 当拒绝这个假设时我们所作的判断错误概率是多少（也就是假设为真我们反而拒绝了的概率是多少？，因为在检验时要给出出错的概率，别人才会相信你的检验结果）

之前我们介绍了中心极限定理

中心极限定理是说：

样本的平均值约等于总体的平均值。

不管总体是什么分布，任意一个总体的样本平均值都会围绕在总体的整体平均值周围，并且呈正态分布。

这里我们可以用上，考虑到H0H_0H0​为真时，由中心极限定理得，X‾−μσ/n=X‾−μ0σ/n∼N(0,1)\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma / \sqrt{n}}=\frac{\overline{X}-\mu_{0}}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1)σ/n​X−μ​=σ/n​X−μ0​​∼N(0,1)。可以看到这条式子给出了与∣xˉ−μ0∣|\bar{x}-\mu _0|∣xˉ−μ0​∣有关的一个概率分布，因此我们可以知道当∣xˉ−μ0∣|\bar{x}-\mu _0|∣xˉ−μ0​∣相差为某个数时所作判断出错的概率——我们不妨设X‾−μσ/n≥k\frac{\overline{X}-\mu}{\sigma / \sqrt{n}} \geq kσ/n​X−μ​≥k时拒绝假设H0H_0H0​，也就是∣X‾−μ∣≥kσ/n|\overline{X}-\mu|\geq k\sigma/ \sqrt{n}∣X−μ∣≥kσ/n​拒绝假设H0H_0H0​, 否则就接受H0H_0H0​。

那么此时实际上H0H_0H0​为真却被拒绝的决策的概率为：

P{当H0为真拒绝H0}=Pμ0{∣X‾−μ0σ/n∣⩾k}≤αP\{当H_0为真拒绝H_0\}=P_{\mu_{0}}\left\{\left|\frac{\overline{X}-\mu_{0}}{\sigma / \sqrt{n}}\right| \geqslant k\right\} \leq \alphaP{当H0​为真拒绝H0​}=Pμ0​​{∣∣∣∣​σ/n​X−μ0​​∣∣∣∣​⩾k}≤α

（同样可以固定出错的概率求相差的数，因为它的概率分布已知），这就能够回答我们上述提出的两个问题了。

并且我们希望这个误判的概率不大于α\alphaα，此时我们就可以确定我们应该设定的k为多大（如下所示）。

一般来说，我们希望我们对假设做出的判断发生错误的概率越小越好，一般取为0.01，0.05。.数α\alphaα称为显著性水平,上面xˉ与μ0\bar{x}与\mu _0xˉ与μ0​有无显著差的判断是在显著性水平α\alphaα之下作出的。

统计量Z=Xˉ−μ0σ/nZ=\frac{\bar{X}-\mu_{0}}{\sigma / \sqrt{n}}Z=σ/n​Xˉ−μ0​​称为检验统计量。

二、什么是显著性检验？

由于检验法则是根据样本作出的,总有可能作出错误的决策.如上面所说的那样,在假设H0H_0H0​实际上为真时,我们可能犯拒绝H0H_0H0​的错误,称这类“弃真”的错误为第Ⅰ类错误.又当H0H_0H0​实际上不真时,我们也有可能接受H0H_0H0​, 称这类“取伪”的错误为第Ⅱ类错误.

为此,在确定检验法则时,我们应尽可能使犯两类错误的概率都较小.但是,进一步讨论可知,一般来说,当样本容量固定时,若减少犯一类错误的概率,则犯另一类错误的概率往往增大.若要使犯两类错误的概率都减小,除非增加样本容量.在给定样本容量的情况下,一般来说,我们总是控制犯第I类错误的概率,使它不大于α\alphaα. α\alphaα的大小视具体情况而定,通常α\alphaα取0.1,0.05,0.01,0.005等值.这种只对犯第I类错误的概率加以控制,而不考虑犯第Ⅱ类错误的概率的检验,称为显著性检验。

三、单边检验

设总体X∼N(μ,σ2)X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)X∼N(μ,σ2), μ\muμ未知，σ\sigmaσ已知，X1,X2,...,XnX_1,X_2,...,X_nX1​,X2​,...,Xn​是来自X的样本，给定显著性水平α\alphaα，我们来求检验问题：

H0:μ≤μ0,H1:μ≥μ0H_0:\mu \leq \mu _0,H_1: \mu \geq \mu _0H0​:μ≤μ0​,H1​:μ≥μ0​

的拒绝域。

从严格的标准来讲，如果我们取样的样本均值大于μ0\mu _0μ0​，我们就会拒绝H0H_0H0​，但是这是不符合实际情况的，因为样本均值是围绕总体均值波动的，如果一次采样恰好采集到样本值都是比较大的，我们就拒绝这个假设，这是不合适的。

因此，就像前面的双边检验一样，我们允许样本均值X‾\overline XX有在μ\muμ周围一定的波动。这里单边检验和双边检验所不同的是，双边检验的X‾\overline XX在概率密度曲线的两边都不能波动得太多，因为双边检验的假设是一个点。相反，单边检测可以在μ\muμ左边任意地波动，而在右边不能波动地太多，因为单边检验地假设是小于等于号（如下图所示）。

通过下面的图可以更直观的看到μ\muμ所允许的波动范围（白色区域）以及拒绝域（黑色区域），其中左侧为双边检验，右侧为单边检验。如果X‾\overline XX没有经过标准化，那么它服从N(μ,σ)N(\mu,\sigma)N(μ,σ);如果经过标准化后变成Xˉ−μσ/n\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma / \sqrt{n}}σ/n​Xˉ−μ​，它服从N(0,1)N(0,1)N(0,1)

从图中可以很清楚地看到，对于单边检测来说，如果我们希望发生误判的错误率不高于α\alphaα, 那么我们应该在统计检验量z满足：

z=X‾−μσ/n≥zαz = \frac{\overline{X}-\mu}{\sigma / \sqrt{n}} \geq z_{\alpha}z=σ/n​X−μ​≥zα​

时拒绝假设H0H_0H0​.

但是这里有一个问题，我们并不知道μ\muμ的具体值，但是在假设H0H_0H0​成立的情况下，我们有以下推导

Xˉ−μσ/n≥Xˉ−μ0σ/n\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma / \sqrt{n}} \geq \frac{\bar{X}-\mu _0}{\sigma / \sqrt{n}}σ/n​Xˉ−μ​≥σ/n​Xˉ−μ0​​

此时如果Xˉ−μ0σ/n≥zα\frac{\bar{X}-\mu _0}{\sigma / \sqrt{n}} \geq z_{\alpha}σ/n​Xˉ−μ0​​≥zα​,则必有Xˉ−μσ/n≥zα\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma / \sqrt{n}}\geq z_{\alpha}σ/n​Xˉ−μ​≥zα​。因此如果在假设H0H_0H0​成立的情况下，我们仍抽样发现不太支持H0H_0H0​的X‾\overline{X}X出现，我们拒绝H0H_0H0​的理由更充分了（有点类似反证法思维）。当然这里不是完全充分，我们仍有α\alphaα的概率误判。

至此，我们可以总结道：在误判率不超过α\alphaα的情况下，单边检测的拒绝域应该为{X‾:X‾−μ0σ/n≥zα}\{\overline X : \frac{\overline{X}-\mu _{0}}{\sigma / \sqrt{n}}\geq z_{\alpha}\}{X:σ/n​X−μ0​​≥zα​}

笔者认为这样的讲解思路更容易懂（在不需要应试的情况下完全可以这样理解），但在需要应试的情况下，可以参考下下面的东西：

四、正态总体均值的假设检验

1. Z检验

上面所讨论的正态总体N(μ,σ2)N(\mu, \sigma ^2)N(μ,σ2)当标准差σ\sigmaσ已知的情况，使用统计量Z=X‾−μ0σ/nZ=\frac{\overline X - \mu _0}{\sigma/\sqrt{n}}Z=σ/n​X−μ0​​来确定拒绝域的检验方法称为Z检验。

2. t检验

正态总体N(μ,σ2)N(\mu, \sigma ^2)N(μ,σ2)当标准差σ\sigmaσ未知时，使用样本标准差sss替代总体标准差σ\sigmaσ并使用统计量Z=X‾−μ0s/nZ=\frac{\overline X - \mu _0}{s/\sqrt{n}}Z=s/n​X−μ0​​来确定拒绝域的检验方法称为t检验。