📖 前言：随着时间的变化，现实世界也在不停地发生变化，因此，各种操作也在不停的更新数据库中的数据，但是这种更新要受到现实世界中许多已有事实的限定和制约，例如，学生选修的课程开设了才能选修，即选课关系中课程号来自于课程关系。这些约束为现实世界的真实需要，任何关系在任何时刻都必须满足这些语义约束。为了方便用户，关系模型为这些限定和制约提供了丰富有效的完整性约束机制。

关系操作是关系数据模型的第二个重要的要素，但关系模型并未在关系数据库管理系统语言中给出具体的语法要求，即不同的关系数据库管理系统可以定义和开发不同的语言来实现这些操作。

关系代数是一种抽象的查询语言，是关系数据库操纵语言的一种传统表达方式，它是由关系的运算来表达查询的。它是处理关系数据库的重要数学基础之一，许多著名的关系数据库语言（如 SQL 等）都是基于关系代数开发的。

目录📌

🕒 0. 思维导图🕒 1. 关系的完整性🕘 1.1 关系的三类完整性约束🕘 1.2 实体完整性（Entity Integrity）🕤 1.2.1 实体完整性规则的说明🕘 1.3 参照完整性🕤 1.3.1 关系间的引用🕤 1.3.2 参照完整性规则的说明🕘 1.4 用户定义的完整性🕒 2. 关系操作🕘 2.1 基本关系操作🕘 2.2 数据操纵功能🕤 2.2.1 数据查询（可分解为三种基本操作）🕤 2.2.2 数据插入🕤 2.2.3 数据删除🕤 2.2.4 数据修改🕘 2.3 关系数据库语言的分类🕒 3. 关系代数🕘 3.1 传统的集合运算🕤 符号引入🕤 3.1.1 并（Union）🕤 3.1.2 差（difference）🕤 3.1.3 交（intersection）🕤 3.1.4 笛卡尔积（cartesian product）🕘 3.2 专门的关系运算🕤 3.2.1 选择（selection）🕤 3.2.2 投影（project）🕤 3.2.3 连接（join）🕞 3.2.3.1 （左/右）外连接🕤 3.2.4 除（division）🕘 3.3 关系代数综合举例🕘 3.4 关系代数小结🕒 4. 课后习题

🕒 0. 思维导图

🕒 1. 关系的完整性

假设有学生选课数据库：

学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄，班长）

课程（课程号，课程名，学分）

选修（学号，课程号，成绩）

专业（专业号，专业名，申办时间）

🕘 1.1 关系的三类完整性约束

如何保证一个数据（实体）是可识别的？

实体完整性如何由一个数据找到另一个数据？

参照完整性如何保证一个数据的取值合理？

用户定义的完整性

含义：

实体完整性和参照完整性：

关系模型必须满足的完整性约束条件;

称为关系的两个不变性，应该由关系系统自动支持;用户定义的完整性：

应用领域需要遵循的约束条件，体现了具体领域中的语义约束 ;

🕘 1.2 实体完整性（Entity Integrity）

若属性A是基本关系R的主属性，则属性A具有唯一性且不能取空值例：学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄，班长）， 其中：

学号：唯一；不能取空值

🕤 1.2.1 实体完整性规则的说明

实体完整性规则是针对基本关系而言的。一个基本表通常对应现实世界的一个实体集。现实世界中的实体是可区分的，即它们具有某种唯一性标识。关系模型中以主码作为唯一性标识。主码中的属性即主属性不能取空值。主属性取空值，就说明存在某个不可标识的实体，即存在不可区分的实体，这与第（2）点相矛盾，因此这个规则称为实体完整性

🕘 1.3 参照完整性

🕤 1.3.1 关系间的引用

在关系模型中实体及实体间的联系都是用关系来描述的，因此可能存在着关系与关系间的引用。 学生关系引用了专业关系的主码“专业号”学生关系中的“专业号”值必须是确实存在的专业的专业号，即专业关系中有该专业的记录、

🕤 1.3.2 参照完整性规则的说明

若属性（或属性组）FFF是基本关系R的外码它与基本关系SSS的主码KsK_sKs​相对应（基本关系RRR和SSS不一定是不同的关系），则对于RRR中每个元组在FFF上的值必须为：

或者取空值（F的每个属性值均为空值）或者等于S中某个元组的主码值

例3：课程COURSE（课程号，课程名，先行课，学分）

“先行课”属性值可以取两类值：

(1）空值，表示该课程没有先行课

(2）非空值，该值必须是本关系表中确实存在的课程号

外码不一定要与相应的主码同名

🕘 1.4 用户定义的完整性

针对某一具体关系数据库的约束条件，反映某一具体应用所涉及的数据必须满足的语义要求关系模型应提供定义和检验这类完整性的机制，以便用统一的系统的方法处理它们，而不要由应用程序承担这一功能

例：

学生成绩需取值[0,100]或[0,150]姓名不能取空值未成年人的定义为不超过18岁人的身高不能超过3米

🕒 2. 关系操作

🕘 2.1 基本关系操作

常用的关系操作 查询：选择（select）、投影（project）、连接（join）、除（divide）、并（union）、交（intersection）、差（except）数据更新：插入、删除、修改查询是关系操作中最主要的部分选择、投影、并、差、笛卡尔基是5种基本操作 关系操作的特点 集合操作方式：操作的对象和结果都是集合，一次一集合的方式

🕘 2.2 数据操纵功能

🕤 2.2.1 数据查询（可分解为三种基本操作）

一个关系内属性的指定（列的选择）；一个关系内元组的指定（行的选择）；两个或多个关系的合并

数据执行的算法如下：

①. 如果查询来自一个关系R，则直接执行②；如果查询来自两个或者多个关系，则首先执行 3.（如果是多于两个的关系，可能要多次执行 3.），直至将两个或多个关系合并成一个关系R；

②. 从关系R中检索出满足条件 1. 2. 的数据。

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作者：HinsCoder

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🕤 2.2.2 数据插入

插入操作

🕤 2.2.3 数据删除

先选择后删除

🕤 2.2.4 数据修改

先删除后插入

🕘 2.3 关系数据库语言的分类

关系代数语言

用对关系的运算来表达查询要求；

代表：ISBL；关系演算语言：用谓词来表达查询要求； 元组关系演算语言

谓词变元的基本对象是元组变量；

代表：APLHA, QUEL；域关系演算语言

谓词变元的基本对象是域变量；

代表：QBE； 具有关系代数和关系演算双重特点的语言；

代表：SQL（Structured Query Language） ；

🕒 3. 关系代数

关系代数运算的三个要素

运算对象：关系

运算结果：关系

运 算 符：四类

集合运算符

将关系看成元组的集合

运算是从关系的“水平”方向即行的角度来进行专门的关系运算符

不仅涉及行而且涉及列比较运算符

辅助专门的关系运算符进行操作逻辑运算符

辅助专门的关系运算符进行操作

🕘 3.1 传统的集合运算

🕤 符号引入

R，t∈R，t[Ai]R，t∈R，t[A_i]R，t∈R，t[Ai​]

设关系模式为R(A1，A2，…，An)R(A_1，A_2，…，A_n)R(A1​，A2​，…，An​)

它的一个关系设为RRR

t∈Rt∈Rt∈R表示ttt是RRR的一个元组

t[Ai]t[A_i]t[Ai​]则表示元组t中相应于属性AiA_iAi​的一个分量

AAA，t[A]t[A]t[A]， Aˉ\bar{A}Aˉ

若A={Ai1,Ai2,…,Aik}A=\left\{\begin{array}{llll}A_{i 1}, & A_{i 2}, & \ldots, & A_{i k}\end{array}\right\}A={Ai1​,​Ai2​,​…,​Aik​​}其中Ai1,Ai2,...,AikA_{i1} , A_{i2} , ... ,A_{ik}Ai1​,Ai2​,...,Aik​ 是 A1,A2,...,AnA_{1} , A_{2} , ... ,A_{n}A1​,A2​,...,An​中的一部分，则A称为属性列或属性组。

Aˉ\bar{A}Aˉ则表示{A1,A2,...,AnA_{1} , A_{2} , ... ,A_{n}A1​,A2​,...,An​}中去掉Ai1,Ai2,...,AikA_{i1} , A_{i2} , ... ,A_{ik}Ai1​,Ai2​,...,Aik​后剩余的属性组。

t[A]=(t[Ai1],t[Ai2],…,t[Aik])t[A]=\left(t\left[A_{i 1}\right], \quad t\left[A_{i 2}\right], \ldots, t\left[A_{i k}\right]\right)t[A]=(t[Ai1​],t[Ai2​],…,t[Aik​])表示元组ttt在属性列AAA上诸分量的集合。

⌢\frown⌢

trtst_r t_str​ts​

R为n目关系, S为m目关系。

tr∈R,ts∈St_{\mathrm{r}} \in R, t_{\mathrm{s}} \in Str​∈R,ts​∈S，

⌢\frown⌢

trtst_r t_str​ts​称为元组的连接或者连串。

⌢\frown⌢

trtst_r t_str​ts​是一个 n+m 列的元组, 前 n 个分量为 R 中的

一个 n 元组， 后 m 个分量为 S 中的一个 m 元组。

象集（images set）ZxZ_xZx​

给定一个关系R（X，Z）R（X，Z）R（X，Z），XXX和ZZZ为属性组

当t[X]=xt[X]=xt[X]=x时，x在R中的象集为：Zx={t[Z]∣t∈R,t[X]=x}Z_{\mathrm{x}}=\{t[Z] \mid t \in R, \quad t[X]=x\}Zx​={t[Z]∣t∈R,t[X]=x}

它表示RRR中属性组XXX上值为xxx的诸元组在ZZZ上分量的集合

例子：

R

x1Z1x1Z2x1Z3x2Z2x2Z3x3Z1x3Z3\begin{array}{|l|l|} \hline x_{1} & Z_{1} \\ \hline x_{1} & Z_{2} \\ \hline x_{1} & Z_{3} \\ \hline x_{2} & Z_{2} \\ \hline x_{2} & Z_{3} \\ \hline x_{3} & Z_{1} \\ \hline x_{3} & Z_{3} \\ \hline \end{array}x1​x1​x1​x2​x2​x3​x3​​Z1​Z2​Z3​Z2​Z3​Z1​Z3​​​

x1x_1x1​在R中的象集

zx1z_{x1}zx1​={Z1，Z2，Z3}x2x_2x2​在R中的象集

zx2z_{x2}zx2​={Z2，Z3}x3x_3x3​在R中的象集

zx3z_{x3}zx3​={Z1，Z3}

并交差运算有什么条件？任意两个集合都可以做这三类集合运算吗？

答：RRR和SSS（相容的）

具有相同的目nnn（即两个关系都有nnn个属性）相应的属性取自同一个域

假定给定的两个关系R和S，分别表示学生参加学校社团的轩辕棋社和体育选修课匹克球的学生信息，如图所示

🕤 3.1.1 并（Union）

仍为nnn目关系，由属于RRR或属于SSS的元组组成

R∪S={t∣t∈R∨t∈S}R \cup S = \{t \mid t \in R \vee t \in S\}R∪S={t∣t∈R∨t∈S}

其中ttt为元组变量

🕤 3.1.2 差（difference）

仍为nnn目关系，由属于RRR而不属于SSS的所有元组组成

R−S={t∣t∈R∧t∉S}R-S=\{t \mid t \in R \wedge t \notin S\}R−S={t∣t∈R∧t∈/S}

🕤 3.1.3 交（intersection）

仍为nnn目关系，由既属于RRR又属于SSS的元组组成

R∩S={t∣t∈R∧t∈S}R \cap S=\{t \mid t \in R \wedge t \in S\}R∩S={t∣t∈R∧t∈S}

R∩S=R−(R−S)R \cap S=R-(R-S)R∩S=R−(R−S)

🕤 3.1.4 笛卡尔积（cartesian product）

严格地讲应该是广义的笛卡尔积（Extended Cartesian Product）

R: r目关系，k1个元组

S: s目关系，k2个元组

R×S

列：（r+s）列元组的集合

元组的前r列是关系R的一个元组

后s列是关系S的一个元组行：k1×k2k_1×k_2k1​×k2​个元组⌢\hspace{1.6cm} \frown⌢

R×S={trts∣tr∈R∧ts∈S}R \times S=\left\{t_{\mathrm{r}} t_{\mathrm{s}} \mid t_{\mathrm{r}} \in R \wedge t_{\mathrm{s}} \in S\right\}R×S={tr​ts​∣tr​∈R∧ts​∈S}

RXS的笛卡尔积是十二个元组的表

姓名系性别姓名系性别俊杰行政管理男沐宸视觉传达男俊杰行政管理男若汐园林女俊杰行政管理男育锐网络工程男俊杰行政管理男俊杰行政管理男育锐网络工程男沐宸视觉传达男育锐网络工程男若汐园林女育锐网络工程男育锐网络工程男育锐网络工程男俊杰行政管理男子涵英语女沐宸视觉传达男子涵英语女若汐园林女子涵英语女育锐网络工程男子涵英语女俊杰行政管理男\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text { 姓名 } & \text { 系 } & \text { 性别 } & \text { 姓名 } & \text { 系 } & \text { 性别 } \\ \hline \text { 俊杰 } & \text { 行政管理 } & \text { 男 } & \text { 沐宸 } & \text { 视觉传达 } & \text { 男 } \\ \hline \text { 俊杰 } & \text { 行政管理 } & \text { 男 } & \text { 若汐 } & \text { 园林 } & \text { 女 } \\ \hline \text { 俊杰 } & \text { 行政管理 } & \text { 男 } & \text { 育锐 } & \text { 网络工程 } & \text { 男 } \\ \hline \text { 俊杰 } & \text { 行政管理 } & \text { 男 } & \text { 俊杰 } & \text { 行政管理 } & \text { 男 } \\ \hline \text { 育锐 } & \text { 网络工程 } & \text { 男 } & \text { 沐宸 } & \text { 视觉传达 } & \text { 男 } \\ \hline \text { 育锐 } & \text { 网络工程 } & \text { 男 } & \text { 若汐 } & \text { 园林 } & \text { 女 } \\ \hline \text { 育锐 } & \text { 网络工程 } & \text { 男 } & \text { 育锐 } & \text { 网络工程 } & \text { 男 } \\ \hline \text { 育锐 } & \text { 网络工程 } & \text { 男 } & \text { 俊杰 } & \text { 行政管理 } & \text { 男 } \\ \hline \text { 子涵 } & \text { 英语 } & \text { 女 } & \text { 沐宸 } & \text { 视觉传达 } & \text { 男 } \\ \hline \text { 子涵 } & \text { 英语 } & \text { 女 } & \text { 若汐 } & \text { 园林 } & \text { 女 } \\ \hline \text { 子涵 } & \text { 英语 } & \text { 女 } & \text { 育锐 } & \text { 网络工程 } & \text { 男 } \\ \hline \text { 子涵 } & \text { 英语 } & \text { 女 } & \text { 俊杰 } & \mathrm{ 行政管理} & \text { 男 } \\ \hline \end{array}姓名俊杰俊杰俊杰俊杰育锐育锐育锐育锐子涵子涵子涵子涵​系行政管理行政管理行政管理行政管理网络工程网络工程网络工程网络工程英语英语英语英语​性别男男男男男男男男女女女女​姓名沐宸若汐育锐俊杰沐宸若汐育锐俊杰沐宸若汐育锐俊杰​系视觉传达园林网络工程行政管理视觉传达园林网络工程行政管理视觉传达园林网络工程行政管理​性别男女男男男女男男男女男男​​

广义的笛卡尔积运算可用于两个关系的连接操作

🕘 3.2 专门的关系运算

假设有教学管理信息系统数据库，该数据库包括有学生关系Student、课程关系Course和选课关系SC。

STUDENT表

SnoSnameSsexSageSmajorShometown0101徐成波男20计算机科学与技术广东广州0102黄晓君女18计算机科学与技术湖南衡阳0103林宇珊女19计算机科学与技术河南新乡0104张茜女18计算机科学与技术广东中山0201黄晓君男21软件工程河北保定0202陈金燕女19软件工程江苏徐州0203张顺峰男22软件工程河南洛阳0204洪铭勇男20软件工程河北邯郸0301朱伟东男19网络工程山东青岛0302叶剑峰男20网络工程陕西西安0303林宇珊女21网络工程湖北襄阳0304吴妍娴女20网络工程浙江诸暨\begin{array}{c|c|c|c|c|c} \hline \text { Sno } & \text { Sname } & \text { Ssex } & \text { Sage } & \text { Smajor } & \text { Shometown } \\ \hline \mathbf{2 0 1 6 0 1 0 1} & \text { 徐成波 } & \text { 男 } & \mathbf{2 0} & \text { 计算机科学与技术 } & \text { 广东广州 } \\ \hline \mathbf{2 0 1 6 0 1 0 2} & \text { 黄晓君 } & \text { 女 } & \mathbf{1 8} & \text { 计算机科学与技术 } & \text { 湖南衡阳 } \\ \hline \mathbf{2 0 1 6 0 1 0 3} & \text { 林宇珊 } & \text { 女 } & \mathbf{1 9} & \text { 计算机科学与技术 } & \text { 河南新乡 } \\ \hline \mathbf{2 0 1 6 0 1 0 4} & \text { 张茜 } & \text { 女 } & \mathbf{1 8} & \text { 计算机科学与技术 } & \text { 广东中山 } \\ \hline \mathbf{2 0 1 6 0 2 0 1} & \text { 黄晓君 } & \text { 男 } & \mathbf{2 1} & \text { 软件工程 } & \text { 河北保定 } \\ \hline \mathbf{2 0 1 6 0 2 0 2} & \text { 陈金燕 } & \text { 女 } & \mathbf{1 9} & \text { 软件工程 } & \text { 江苏徐州 } \\ \hline \mathbf{2 0 1 6 0 2 0 3} & \text { 张顺峰 } & \text { 男 } & \mathbf{2 2} & \text { 软件工程 } & \text { 河南洛阳 } \\ \hline \mathbf{2 0 1 6 0 2 0 4} & \text { 洪铭勇 } & \text { 男 } & \mathbf{2 0} & \text { 软件工程 } & \text { 河北邯郸 } \\ \hline \mathbf{2 0 1 6 0 3 0 1} & \text { 朱伟东 } & \text { 男 } & \mathbf{1 9} & \text { 网络工程 } & \text { 山东青岛 } \\ \hline \mathbf{2 0 1 6 0 3 0 2} & \text { 叶剑峰 } & \text { 男 } & \mathbf{2 0} & \text { 网络工程 } & \text { 陕西西安 } \\ \hline \mathbf{2 0 1 6 0 3 0 3} & \text { 林宇珊 } & \text { 女 } & \mathbf{2 1} & \text { 网络工程 } & \text { 湖北襄阳 } \\ \hline \mathbf{2 0 1 6 0 3 0 4} & \text { 吴妍娴 } & \text { 女 } & \mathbf{2 0} & \text { 网络工程 } & \text { 浙江诸暨 } \\ \hline \end{array}Sno01010102010301040016020302040301030203030304​Sname徐成波黄晓君林宇珊张茜黄晓君陈金燕张顺峰洪铭勇朱伟东叶剑峰林宇珊吴妍娴​Ssex男女女女男女男男男男女女​Sage191821192220​Smajor计算机科学与技术计算机科学与技术计算机科学与技术计算机科学与技术软件工程软件工程软件工程软件工程网络工程网络工程网络工程网络工程​Shometown广东广州湖南衡阳河南新乡广东中山河北保定江苏徐州河南洛阳河北邯郸山东青岛陕西西安湖北襄阳浙江诸暨​​

COURSE表

CnoCnameCpnoCcredit1001高等数学9.01002C语言程序设计3.51003数据结构10024.01004操作系统10034.01005数据库原理及应用10033.51006信息管理系统10053.01007面向对象与程序设计10023.51008数据挖掘10063.0\begin{array}{c|l|c|c} \hline \text { Cno } & {\text { Cname }} & \text { Cpno } & \text { Ccredit } \\ \hline 1001 & \text { 高等数学 } & & 9.0 \\ \hline 1002 & \text { C语言程序设计 } & & 3.5 \\ \hline 1003 & \text { 数据结构 } & 1002 & 4.0 \\ \hline 1004 & \text { 操作系统 } & 1003 & 4.0 \\ \hline 1005 & \text { 数据库原理及应用 } & 1003 & 3.5 \\ \hline 1006 & \text { 信息管理系统 } & 1005 & 3.0 \\ \hline 1007 & \text { 面向对象与程序设计 } & 1002 & 3.5 \\ \hline 1008 & \text { 数据挖掘 } & 1006 & 3.0 \\ \hline \end{array}Cno10011002100310041005100610071008​Cname高等数学C语言程序设计数据结构操作系统数据库原理及应用信息管理系统面向对象与程序设计数据挖掘​Cpno100210031003100510021006​Ccredit9.03.54.04.03.53.03.53.0​​

SC表

SnoCnoGrade01011001920101100298010110038801011004980101100576010110068901011007860101100890010210058000059002031003890204100596030310018803031002860303100368030310049803031005840303100673\begin{array}{c|c|c} \hline \text { Sno } & \text { Cno } & \text { Grade } \\ \hline 0101 & 1001 & 92 \\ \hline 0101 & 1002 & 98 \\ \hline 0101 & 1003 & 88 \\ \hline 0101 & 1004 & 98 \\ \hline 0101 & 1005 & 76 \\ \hline 0101 & 1006 & 89 \\ \hline 0101 & 1007 & 86 \\ \hline 0101 & 1008 & 90 \\ \hline 0102 & 1005 & 80 \\ \hline 0201 & 1005 & 90 \\ \hline 0203 & 1003 & 89 \\ \hline 0204 & 1005 & 96 \\ \hline 0303 & 1001 & 88 \\ \hline 0303 & 1002 & 86 \\ \hline 0303 & 1003 & 68 \\ \hline 0303 & 1004 & 98 \\ \hline 0303 & 1005 & 84 \\ \hline 0303 & 1006 & 73 \\ \hline \end{array}Sno010101010101010101010101010101010102001602030204030303030303030303030303​Cno100110021003100410051006100710081005100510031005100110021003100410051006​Grade929888987689869080908996888668988473​​

🕤 3.2.1 选择（selection）

选择又称为限制（Restriction）选择运算符的含义 在关系RRR中选择满足给定条件的诸元组σF(R)={t∣t∈R∧F(t)=′true⁡′}\sigma_{\mathrm{F}}(R)=\left\{t \mid t \in R \wedge F(t)={ }^{\prime} \operatorname{true}^{\prime}\right\}σF​(R)={t∣t∈R∧F(t)=′true′}F：选择条件，是一个逻辑表达式

基本形式为：X1θY1X_1θY_1X1​θY1​

θ表示比较运算符，它可以是＞，≥，＜，≤，＝或 ≠。 选择运算是从关系R中选取使逻辑表达式F为真的元组，是从行的角度进行的运

例题：

从student关系中查询女同学的情况，和年龄在19岁及其以下的软件工程专业的学生

σSsex=“女”(Student)\sigma_{\text {Ssex } = \text { “女” }}(\text { Student })σSsex=“女”​(Student)或σ3=“女”(Student)\sigma_{\text {3 } = \text { “女” }}(\text { Student })σ3=“女”​(Student)

SnoSnameSsexSageSmajorShometown0102黄晓君女18计算机科学与技术湖南衡阳0103林宇珊女19计算机科学与技术河南新乡0104张茜女18计算机科学与技术广东中山0202陈金燕女19软件工程江苏徐州0303林宇珊女21网络工程湖北襄阳0304吴妍娴女20网络工程浙江诸暨\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text { Sno } & \text { Sname } & \text { Ssex } & \text { Sage } & \text { Smajor } & \text { Shometown } \\ \hline \mathbf{2 0 1 6 0 1 0 2} & \text { 黄晓君 } & \text { 女 } & \mathbf{1 8} & \text { 计算机科学与技术 } & \text { 湖南衡阳 } \\ \hline \mathbf{2 0 1 6 0 1 0 3} & \text { 林宇珊 } & \text { 女 } & \mathbf{1 9} & \text { 计算机科学与技术 } & \text { 河南新乡 } \\ \hline \mathbf{2 0 1 6 0 1 0 4} & \text { 张茜 } & \text { 女 } & \mathbf{1 8} & \text { 计算机科学与技术 } & \text { 广东中山 } \\ \hline \mathbf{2 0 1 6 0 2 0 2} & \text { 陈金燕 } & \text { 女 } & \mathbf{1 9} & \text { 软件工程 } & \text { 江苏徐州 } \\ \hline \mathbf{2 0 1 6 0 3 0 3} & \text { 林宇珊 } & \text { 女 } & \mathbf{2 1} & \text { 网络工程 } & \text { 湖北襄阳 } \\ \hline \mathbf{2 0 1 6 0 3 0 4} & \text { 吴妍娴 } & \text { 女 } & \mathbf{2 0} & \text { 网络工程 } & \text { 浙江诸暨 } \\ \hline \end{array}Sno01020103010403030304​Sname黄晓君林宇珊张茜陈金燕林宇珊吴妍娴​Ssex女女女女女女​Sage181918192120​Smajor计算机科学与技术计算机科学与技术计算机科学与技术软件工程网络工程网络工程​Shometown湖南衡阳河南新乡广东中山江苏徐州湖北襄阳浙江诸暨​​σSage<=19∧Smajor=’软件工程’(Student)\sigma_{\text {Sage }<=19 \wedge \text { Smajor }=\text { '软件工程' }}(\text { Student })σSage<=19∧Smajor=’软件工程’​(Student)

SnoSnameSsexSageSmajorShometown0202陈金燕女19软件工程江苏徐州\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text { Sno } & \text { Sname } & \text { Ssex } & \text { Sage } & \text { Smajor } & \text { Shometown } \\ \hline 0202 & \text { 陈金燕 } & \text { 女 } & 19 & \text { 软件工程 } & \text { 江苏徐州 } \\ \hline \end{array}Sno0202​Sname陈金燕​Ssex女​Sage19​Smajor软件工程​Shometown江苏徐州​​

🕤 3.2.2 投影（project）

含义：从R中选择出若干属性列组成新的关系

πA(R)={t[A]∣t∈R}\pi_{A}(R)=\{t[A] \mid t \in R\}πA​(R)={t[A]∣t∈R}

A：R中的属性列

投影操作主要是从列的角度进行运算

但投影之后不仅取消了原关系中的某些列，而且还可能取消某些元组（避免重复行）

例：查询全部课程的课程名和学分

ΠCname,Ccredit(Course)或Π2,4(Course)\Pi_{\text {Cname, Ccredit }}\left(\text { Course) 或 } \mathrm{\Pi}_{2,4}(\text { Course })\right.ΠCname,Ccredit​(Course)或Π2,4​(Course)

CnameCcredit高等数学9.0C语言程序设计3.5数据结构4.0操作系统4.0数据库原理及应用3.5信息管理系统3.0面向对象与程序设计3.5数据挖掘3.0\begin{array}{|c|c|} \hline \text {\text { Cname }} & \text { Ccredit } \\ \hline \text { 高等数学 } & 9.0 \\ \hline \text { C语言程序设计 } & 3.5 \\ \hline \text { 数据结构 } & 4.0 \\ \hline \text { 操作系统 } & 4.0 \\ \hline \text { 数据库原理及应用 } & 3.5 \\ \hline \text { 信息管理系统 } & 3.0 \\ \hline \text { 面向对象与程序设计 } & 3.5 \\ \hline \text { 数据挖掘 } & 3.0 \\ \hline \end{array}Cname高等数学C语言程序设计数据结构操作系统数据库原理及应用信息管理系统面向对象与程序设计数据挖掘​Ccredit9.03.54.04.03.53.03.53.0​​

🕤 3.2.3 连接（join）

连接也称为θ连接，

从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条件的元组（A和B：分别为R和S上度（列）数相等且可比的属性组，θ是比较运算符）

即：找出R×S中满足R中属性组A的值与S中的属性组B的值满足比较关系θ的那些元组。

等值连接： 当θ取“＝”时为等值连接

等值连接的具体计算过程如下：

①计算R×S；

②找出R×S中满足R中属性组A的值与S中的属性组B的值相等的那些元组。

自然连接

两个关系中进行比较的分量必须是相同的属性组，在结果中把重复的属性列去掉

自然连接的计算过程如下：

① 计算R×S；

② 设R和S的公共属性是B，则找出R×S中满足R中属性B的值与S中的属性B的值相等的那些元组；

③ 去掉重复的属性列，如可去掉S中的B列保留R中B列。

笛卡尔积：16个元组（姓名，住址，姓名，工作单位，工资）

连接：三个元组

一般的连接操作是从行的角度进行运算。

自然连接还需要取消重复列，所以是同时从行和列的角度进行运算。

例题：关系R和关系S如下所示

等值连接和自然连接的比较

自然连接一定是等值连接，但等值连接不一定是自然连接；等值连接要求有值相等的属性列，但不一定具有相同的属性名，而自然连接要求相等属性值的属性名必须相同；等值连接不做投影运算，而自然连接要把重复的属性列去掉。

例题：查询学生选修课程的信息，包括学生的学号、姓名、性别、课程名、学分和成绩。

答案：ΠSno,Sname,Ssex,Cname,Ccredi,Grade(Student⋈SC⋈Course)\Pi_{\text {Sno, Sname, Ssex, Cname, Ccredi, Grade }}\left(\text {Student} \bowtie \mathbf{SC} \bowtie \mathbf{Course}\right)ΠSno,Sname,Ssex,Cname,Ccredi,Grade​(Student⋈SC⋈Course)

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作者：HinsCoder

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🕞 3.2.3.1 （左/右）外连接

外连接

在作自然连接时，如果把舍弃的元组也保存在结果关系中，而在其他属性上填空值(Null)，这种连接就叫做外连接（outer join）。

姓名住址工作单位工资俊杰北京朝阳清华附小11500子涵上海新东方9500育锐广州仲恺农大8500沐宸西安NULLNULL奕辰NULL小米公司15000\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text { 姓名 } & \text { 住址 } & \text { 工作单位 } & \text { 工资 } \\ \hline \text { 俊杰 } & \text { 北京朝阳 } & \text { 清华附小 } & 11500 \\ \text { 子涵 } & \text { 上海 } & \text { 新东方 } & 9500 \\ \text { 育锐 } & \text { 广州 } & \text { 仲恺农大 } & 8500 \\ \text { 沐宸 } & \text { 西安 } & \text { NULL } & \text { NULL } \\ \text { 奕辰 } & \text { NULL } & \text { 小米公司 } & \text { 15000 } \\ \hline \end{array}姓名俊杰子涵育锐沐宸奕辰​住址北京朝阳上海广州西安NULL​工作单位清华附小新东方仲恺农大NULL小米公司​工资1150095008500NULL15000​​

左外连接

如果只把左边关系R中要舍弃的元组保留就叫做左外连接(left outer join或left join)

姓名住址工作单位工资俊杰北京朝阳清华附小11500子涵上海新东方9500育锐广州仲恺农大8500沐宸西安NULLNULL\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text { 姓名 } & \text { 住址 } & \text { 工作单位 } & \text { 工资 } \\ \hline \text { 俊杰 } & \text { 北京朝阳 } & \text { 清华附小 } & 11500 \\ \text { 子涵 } & \text { 上海 } & \text { 新东方 } & 9500 \\ \text { 育锐 } & \text { 广州 } & \text { 仲恺农大 } & 8500 \\ \text { 沐宸 } & \text { 西安 } & \text { NULL } & \text { NULL } \\ \hline \end{array}姓名俊杰子涵育锐沐宸​住址北京朝阳上海广州西安​工作单位清华附小新东方仲恺农大NULL​工资1150095008500NULL​​

右外连接

如果只把右边关系S中要舍弃的元组保留就叫做右外连接(right outer join或right join)。

姓名住址工作单位工资俊杰北京朝阳清华附小11500子涵上海新东方9500育锐广州仲恺农大8500奕辰NULL小米公司15000\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text { 姓名 } & \text { 住址 } & \text { 工作单位 } & \text { 工资 } \\ \hline \text { 俊杰 } & \text { 北京朝阳 } & \text { 清华附小 } & 11500 \\ \text { 子涵 } & \text { 上海 } & \text { 新东方 } & 9500 \\ \text { 育锐 } & \text { 广州 } & \text { 仲恺农大 } & 8500 \\ \text { 奕辰 } & \text { NULL } & \text { 小米公司 } & \text { 15000 } \\ \hline \end{array}姓名俊杰子涵育锐奕辰​住址北京朝阳上海广州NULL​工作单位清华附小新东方仲恺农大小米公司​工资115009500850015000​​

🕤 3.2.4 除（division）

给定关系R(X，Y)R (X，Y)R(X，Y)和S(Y，Z)S (Y，Z)S(Y，Z)，其中X，Y，ZX，Y，ZX，Y，Z为属性组。

RRR中的YYY与SSS中的YYY可以有不同的属性名，但必须出自相同的域集。

RRR与SSS的除运算得到一个新的关系P(X)P(X)P(X)，为：

R÷S={tr[X]∣tr∈R∧ΠY(S)⊆Yx}R \div S=\left\{t_{\mathrm{r}}[X] \mid t_{\mathrm{r}} \in R \wedge \Pi_{\mathrm{Y}}(S) \subseteq Y_{x}\right\}R÷S={tr​[X]∣tr​∈R∧ΠY​(S)⊆Yx​}

YxY_xYx​：xxx在RRR中的象集，x=tr[X]x = t_r[X]x=tr​[X]

含义： PPP是R中满足下列条件的元组在 X 属性列上的投影：

元组在X上分量值x的象集Yx包含S在Y上投影的集合。

除操作是同时从行和列角度进行运算

例1：试找出修读了全部课程的学生的学号。

对这个问题可用除法解决，即S_C÷C

分析过程：对于关系S_C，Sno可以取三个值{S1，S2，S3}，其中

S1的象集的含义是学生S1上的课程，即：CnoS1Cno_{S1}CnoS1​= { c1，c2 ，c3}；

S2的象集CnoS2Cno_{S2}CnoS2​= { c2 ，c3}；S3的象集CnoS3Cno_{S3}CnoS3​= { c2}；

C在Cno上的投影代表所有课程，即：ΠcnoΠ_{cno}Πcno​ ( C )={ c1，c2，c3}，

只有S1这位同学上了全部课程，即：只有S1的象集包含了C在Cno属性组上的投影，所以S_C÷C={S1}

思考：至少选修了1号和2号课程的学生的学号

即S_C÷K

其中K：

例2：设关系R、S分别为下图的(a)和(b)，R÷S的结果为图©

分析：在关系R中，A可以取三个值{a1，a2，a3}

a1的象集为 {(b1，5)，(b2，6)，(b3，12)}；

a2的象集为 {(b1，5)，(b3，12)}； a3的象集为 {(b3，12)}

S在(B，C)上的投影为{(b1，5)，(b2，6)，(b3，12)}

只有a1的象集包含了S在(B，C)属性组上的投影，所以R÷S ={a1}。

例3：

🕘 3.3 关系代数综合举例

假设有教学管理信息系统数据库，该数据库包括有学生关系Student、课程关系Course和选课关系SC。

STUDENT表

SnoSnameSsexSageSmajorShometown0101徐成波男20计算机科学与技术广东广州0102黄晓君女18计算机科学与技术湖南衡阳0103林宇珊女19计算机科学与技术河南新乡0104张茜女18计算机科学与技术广东中山0201黄晓君男21软件工程河北保定0202陈金燕女19软件工程江苏徐州0203张顺峰男22软件工程河南洛阳0204洪铭勇男20软件工程河北邯郸0301朱伟东男19网络工程山东青岛0302叶剑峰男20网络工程陕西西安0303林宇珊女21网络工程湖北襄阳0304吴妍娴女20网络工程浙江诸暨\begin{array}{c|c|c|c|c|c} \hline \text { Sno } & \text { Sname } & \text { Ssex } & \text { Sage } & \text { Smajor } & \text { Shometown } \\ \hline \mathbf{2 0 1 6 0 1 0 1} & \text { 徐成波 } & \text { 男 } & \mathbf{2 0} & \text { 计算机科学与技术 } & \text { 广东广州 } \\ \hline \mathbf{2 0 1 6 0 1 0 2} & \text { 黄晓君 } & \text { 女 } & \mathbf{1 8} & \text { 计算机科学与技术 } & \text { 湖南衡阳 } \\ \hline \mathbf{2 0 1 6 0 1 0 3} & \text { 林宇珊 } & \text { 女 } & \mathbf{1 9} & \text { 计算机科学与技术 } & \text { 河南新乡 } \\ \hline \mathbf{2 0 1 6 0 1 0 4} & \text { 张茜 } & \text { 女 } & \mathbf{1 8} & \text { 计算机科学与技术 } & \text { 广东中山 } \\ \hline \mathbf{2 0 1 6 0 2 0 1} & \text { 黄晓君 } & \text { 男 } & \mathbf{2 1} & \text { 软件工程 } & \text { 河北保定 } \\ \hline \mathbf{2 0 1 6 0 2 0 2} & \text { 陈金燕 } & \text { 女 } & \mathbf{1 9} & \text { 软件工程 } & \text { 江苏徐州 } \\ \hline \mathbf{2 0 1 6 0 2 0 3} & \text { 张顺峰 } & \text { 男 } & \mathbf{2 2} & \text { 软件工程 } & \text { 河南洛阳 } \\ \hline \mathbf{2 0 1 6 0 2 0 4} & \text { 洪铭勇 } & \text { 男 } & \mathbf{2 0} & \text { 软件工程 } & \text { 河北邯郸 } \\ \hline \mathbf{2 0 1 6 0 3 0 1} & \text { 朱伟东 } & \text { 男 } & \mathbf{1 9} & \text { 网络工程 } & \text { 山东青岛 } \\ \hline \mathbf{2 0 1 6 0 3 0 2} & \text { 叶剑峰 } & \text { 男 } & \mathbf{2 0} & \text { 网络工程 } & \text { 陕西西安 } \\ \hline \mathbf{2 0 1 6 0 3 0 3} & \text { 林宇珊 } & \text { 女 } & \mathbf{2 1} & \text { 网络工程 } & \text { 湖北襄阳 } \\ \hline \mathbf{2 0 1 6 0 3 0 4} & \text { 吴妍娴 } & \text { 女 } & \mathbf{2 0} & \text { 网络工程 } & \text { 浙江诸暨 } \\ \hline \end{array}Sno01010102010301040016020302040301030203030304​Sname徐成波黄晓君林宇珊张茜黄晓君陈金燕张顺峰洪铭勇朱伟东叶剑峰林宇珊吴妍娴​Ssex男女女女男女男男男男女女​Sage191821192220​Smajor计算机科学与技术计算机科学与技术计算机科学与技术计算机科学与技术软件工程软件工程软件工程软件工程网络工程网络工程网络工程网络工程​Shometown广东广州湖南衡阳河南新乡广东中山河北保定江苏徐州河南洛阳河北邯郸山东青岛陕西西安湖北襄阳浙江诸暨​​

COURSE表

CnoCnameCpnoCcredit1001高等数学9.01002C语言程序设计3.51003数据结构10024.01004操作系统10034.01005数据库原理及应用10033.51006信息管理系统10053.01007面向对象与程序设计10023.51008数据挖掘10063.0\begin{array}{c|l|c|c} \hline \text { Cno } & {\text { Cname }} & \text { Cpno } & \text { Ccredit } \\ \hline 1001 & \text { 高等数学 } & & 9.0 \\ \hline 1002 & \text { C语言程序设计 } & & 3.5 \\ \hline 1003 & \text { 数据结构 } & 1002 & 4.0 \\ \hline 1004 & \text { 操作系统 } & 1003 & 4.0 \\ \hline 1005 & \text { 数据库原理及应用 } & 1003 & 3.5 \\ \hline 1006 & \text { 信息管理系统 } & 1005 & 3.0 \\ \hline 1007 & \text { 面向对象与程序设计 } & 1002 & 3.5 \\ \hline 1008 & \text { 数据挖掘 } & 1006 & 3.0 \\ \hline \end{array}Cno10011002100310041005100610071008​Cname高等数学C语言程序设计数据结构操作系统数据库原理及应用信息管理系统面向对象与程序设计数据挖掘​Cpno100210031003100510021006​Ccredit9.03.54.04.03.53.03.53.0​​

SC表

SnoCnoGrade01011001920101100298010110038801011004980101100576010110068901011007860101100890010210058000059002031003890204100596030310018803031002860303100368030310049803031005840303100673\begin{array}{c|c|c} \hline \text { Sno } & \text { Cno } & \text { Grade } \\ \hline 0101 & 1001 & 92 \\ \hline 0101 & 1002 & 98 \\ \hline 0101 & 1003 & 88 \\ \hline 0101 & 1004 & 98 \\ \hline 0101 & 1005 & 76 \\ \hline 0101 & 1006 & 89 \\ \hline 0101 & 1007 & 86 \\ \hline 0101 & 1008 & 90 \\ \hline 0102 & 1005 & 80 \\ \hline 0201 & 1005 & 90 \\ \hline 0203 & 1003 & 89 \\ \hline 0204 & 1005 & 96 \\ \hline 0303 & 1001 & 88 \\ \hline 0303 & 1002 & 86 \\ \hline 0303 & 1003 & 68 \\ \hline 0303 & 1004 & 98 \\ \hline 0303 & 1005 & 84 \\ \hline 0303 & 1006 & 73 \\ \hline \end{array}Sno010101010101010101010101010101010102001602030204030303030303030303030303​Cno100110021003100410051006100710081005100510031005100110021003100410051006​Grade929888987689869080908996888668988473​​

例1：查询计算机科学与技术专业选修了2号课程的学生的姓名和成绩。

ΠSname,Grade(σCno=′2′∧Smajor="计算机科学与技术"(Student⋈SC))\Pi_{\text {Sname, Grade }}\left(\sigma_{\mathbf{C n o}={ }^{\prime} 2^{\prime}} \wedge _{Smajor="计算机科学与技术"}(\text { Student} \bowtie \mathbf{SC})\right)ΠSname,Grade​(σCno=′2′​∧Smajor="计算机科学与技术"​(Student⋈SC))

例2：查询选修了学分在3分及以上的课程的学生的学号、姓名及所选修课程的课程名和成绩。

ΠSno,Sname,Cname,Grade(σCredit>=3(Student⋈SC⋈Course))\Pi_{\text {Sno, Sname, Cname, Grade }}\left(\sigma_{\mathbf{Credit}>=3} (\text { Student} \bowtie \mathbf{SC} \bowtie \mathbf{Course})\right)ΠSno,Sname,Cname,Grade​(σCredit>=3​(Student⋈SC⋈Course))

例3：查询选修了全部课程的学生的学号和姓名。

(ΠSno,Cno(SC)÷ΠCno(Course))⋈ΠSno,Sname(Student)\left(\Pi_{\text {Sno,Cno }}(\mathbf{S C}) \div \Pi_{\text {Cno }} \text { (Course) }\right) \bowtie \Pi_{\text {Sno,Sname }} \text { (Student) }(ΠSno,Cno​(SC)÷ΠCno​(Course))⋈ΠSno,Sname​(Student)

例4：查询选修了其直接先行课为1号课程的学生姓名

三种表示

ΠSname(σCpno=′1′(Course⋈SC⋈Student))ΠSname(σCpno=’1’(Course)⋈SC⋈ΠSno,name(Student))ΠSname(ΠSno(σCpno=’1’(Course)⋈SC)⋈ΠSno,Sname(Student))\begin{array}{l} \Pi_{\text {Sname }}\left(\sigma_{\mathrm{Cpno='1' }}(\text {Course } \bowtie \mathrm{SC} \bowtie \mathrm{Student})\right)\\ \Pi_{\text {Sname }}\left(\sigma_{\text {Cpno='1' }}(\text {Course }) \bowtie S C \bowtie \Pi_{\text {Sno, name }}(\text { Student })\right)\\ \Pi_{\text {Sname }}\left(\Pi_{\text {Sno }}\left(\sigma_{\text {Cpno='1' }}(\text { Course }) \bowtie S C\right) \bowtie \Pi_{\text {Sno, Sname }}(\text { Student })\right) \end{array}ΠSname​(σCpno=′1′​(Course⋈SC⋈Student))ΠSname​(σCpno=’1’​(Course)⋈SC⋈ΠSno,name​(Student))ΠSname​(ΠSno​(σCpno=’1’​(Course)⋈SC)⋈ΠSno,Sname​(Student))​

🕘 3.4 关系代数小结

关系代数运算

关系代数运算

并、差、交、笛卡尔积、投影、选择、连接、除基本运算

并、差、笛卡尔积、投影、选择交、连接、除

可以用5种基本运算来表达

关系代数表达式

关系代数运算经有限次复合后形成的式子

典型关系代数语言

ISBL（Information System Base Language）

由IBM United Kingdom研究中心研制

用于PRTV（Peterlee Relational Test Vehicle）实验系统

🕒 4. 课后习题

【单选题】现有一个关系:借阅(书号、书名,库存数,读者号,借期,还期),假如同一本书允许一个读者多次借阅,但不能同时对一种书借多本。则该关系模式的码是( )。

A、书号

B、读者号

C、书号+读者号

D、书号+读者号+借期

【单选题】有关系 ：R(A, B, C) 主码=A，S(D,A) 主码=D，外码=A，参照于R的属性A

关系R和S的元组如下图所示：

指出关系S中违反关系完整性规则的元组是（ ）

A、(1,2)

B、 (2, null)

C、(3,3)

D、(4,1)

【判断题】一个关系中不可能出现两个完全相同的元组是由实体完整性规则确定的（ ）

【判断题】有两个关系R、S，都含有A属性，关系R中的属性A是主码，关系S中属性A是外码，那么关系R、S中属性A的域可以不同（ ）。

【单选题】设有关系R(A,B,C)和关系S(B,C,D)，那么与R⋈S等价的关系代数表达式是（ ）

A、π1,2,3,4（σ2=1∧3=2（R×S））π_{1,2,3,4}（σ_{2=1∧3=2}（R×S））π1,2,3,4​（σ2=1∧3=2​（R×S））

B、π1,2,3,6（σ2=1∧3=2（R×S））π_{1,2,3,6}（σ_{2=1∧3=2}（R×S））π1,2,3,6​（σ2=1∧3=2​（R×S））

C、π1,2,3,6（σ2=4∧3=5（R×S））π_{1,2,3,6}（σ_{2=4∧3=5}（R×S））π1,2,3,6​（σ2=4∧3=5​（R×S））

D、π1,2,3,4（σ2=4∧3=5（R×S））π_{1,2,3,4}（σ_{2=4∧3=5}（R×S））π1,2,3,4​（σ2=4∧3=5​（R×S））

【单选题】设W=R⋈S，且W、R、S的属性个数分别为w、r和s，那么三者之间应满足（ ）

A、w ≤ r+s

B、w＜r+s

C、w ≥ r+s

D、w＞r+s

设关系R与关系S具有相同的目（或称度），且相对应的属性的值取自同一个域，则R−（R−S）R-（R-S）R−（R−S）等于（ ）

A、R∪SR ∪ SR∪S

B、R∩SR ∩ SR∩S

C、R×SR × SR×S

D、R−SR - SR−S

【填空题】在关系代数的专门关系运算中，从表中取出满足条件的属性的操作称为______；从表中选出满足某种条件的元组的操作称为_______；将两个关系中具有共同属性值的元组连接到一起构成新表的操作称为________。

【单选题】在关系代数的传统集合运算中，假定有关系R和S，运算结果为W，如果W中的元组属于R，或者属于S，则W的运算的结果是

A、笛卡尔积 

B、并

C、差

D、交

【单选题】关系运算中花费时间可能最长的运算是（ ）

A、投影

B、选择

C、笛卡尔积

D、除

【单选题】等值连接和自然连接相比较，正确的是（ ）。

A、等值连接和自然连接的结果完全相同

B、等值连接的属性个数大于自然连接的属性个数

C、等值连接的属性个数大于或等于自然连接的属性个数

D、等值连接和自然连接的连接条件相同

【单选题】参加差运算的两个关系( ).

A、属性个数可以不相同

B、属性个数必须相同

C、一个关系包含另一个关系的属性

D、属性名必须相同

【单选题】有两个关系R和S，分别包含15个和10个元组，则在RUS、R-S、RnS中不可能出现的元组数目情况是（ ）。

A、15,5,10

B、18,7,7

C、21,11,4

D、25,15,0

【单选题】在n元关系R中，公式σ3<“4”（R）σ_{3<“4”}（R）σ3<“4”​（R）表示（ ）。

A、从R中选择值为3的分量(或属性)小于第4个分量值的元组组成的关系

B、从R中选择第3个分量的值小于第4个分量值的元组组成的关系

C、从R中选择第3个分量的值小于4的元组组成的关系

D、从R中选择第3个分量小于4个元组组成的关系

【判断题】给定关系R(X，Y)和S(Y，Z)，R和S作除运算时要求R中的属性Y和S中的属性Y必须具有相同的域（）

【单选题】设关系R(A,B,C)R(A,B,C)R(A,B,C)和S(B,C,D)S(B,C,D)S(B,C,D)，下列各关系代数表达式不成立的是（）

A、R÷SR ÷ SR÷S

B、πB,C(R)∪πB,C(S)π_{B,C}(R)∪π_{B,C}(S)πB,C​(R)∪πB,C​(S)

C、R∩SR ∩ SR∩S

D、R×SR × SR×S

设有关系R、S和T，如图所示

计算：(1)∏3,2(S)(2)σB=′b′andC=“c”(R)(3)R⋈S(4)ΠА,В,C,D(R⋈S)(5)R÷T(1) \prod_{3,2}(\mathrm{~S}) \\ (2) \sigma_{B='b' and \, C=“c”}(R) \\ (3) R \bowtie S \\ (4) \Pi_{\text {А,В,C,D }}(R \bowtie S) \\ (5) R \div T(1)∏3,2​(S)(2)σB=′b′andC=“c”​(R)(3)R⋈S(4)ΠА,В,C,D​(R⋈S)(5)R÷T

设有三个关系

S（SNO，SNAME，AGE，SEX，SDEPT）

SC（SNO，CNO，GRADE）

C（CNO，CNAME，TNAME）

试用关系代数语言完成下列查询：

（1） LIU老师所教授课程的课程号、课程名；

（2） 检索年龄大于23岁的男学生的学号和姓名；

（3） 检索学号为S3的学生所学课程的课程名与任课老师名；

（4） 检索至少选修LIU老师所教授课程中一门课的女学生姓名；

（5） 检索WANG同学不学的课程的课程号；

（6） 检索全部学生都选修的课程的课程号和课程名；

（7） 检索选修课程包含LIU老师所有教授课程的学生学号；

设有一个SPJ数据库，包括S，P，J，SPJ四个关系模式：

S（SNO，SNAME，STATUS，SCITY）；

P（PNO，PNAME，COLOR，WEIGHT）；

J（JNO，JNANE，JCITY）；

SPJ（SNO，PNO，JNO，QTY）。

其中：供应商表S由供应商代码（SNO）、供应商姓名（SNAME）、供应商状态（STATUS）、供应商所在城市（SCITY）组成；零件表P由零件代码（PNO）、零件名（PNAME）、颜色（COLOR）、重量（WEIGHT）组成；工程项目表J 由工程项目代码（JNO）、工程项目名（JNAME）、工程项目所在城市（JCITY）组成；供应情况表SPJ由供应商代码（SNO）、零件代码（PNO）、工程项目代码（JNO）、供应数量组成（QTY）组成，表示某供应商供应某种零件给某工程项目的数量为QTY。现有具体数据如图所示，a、b、c、d分别代表S表、P表、J表和SPJ表。

试用关系代数完成如下查询：

（1）求供应工程J1 零件的供应商号码SNO；

（2）求供应工程J1 零件P1的供应商号码SNO；

（3）求供应工程J1 零件为红色的供应商号码SNO；

（4）求没有使用天津供应商生产的红色零件的工程号JNO；

（5）求至少用了供应商S1所供应的全部零件的工程号JNO。

答案：1.D 2.C（解析：R中的A只有1、2，没有3，因此S中外码A找不到参照的对应） 3.√ 4.×（解析：根据关系的参照完整性，关系S中的属性A必须引用关系R中的属性A，如果它们的域不同，则可能不存在引用情况。）5.C（解析：标号，R.A(1)、R.B(2)、R.C(3)、S.B(4)、S.C(5)、S.D(6)，显然自然连接就是R.B(2)=S.B(4)；R.C(3)=S.C(5)，所以我们只要投影1、2、3、6或者1、4、5、6即可） 6.B（解析：要去掉重复的属性列） 7.B（解析：画图） 8.投影、选择、连接 9.B 10.C 11.B 12.B（解析：参加差运算的两个关系要求是相容关系，即两个关系属性个数相同，相应的属性值域相同。） 13.B（解析：答案A的情形:若RnS为10个元组，那么RUS为15个元组、R-S为5个元组是正确的；答案B的情形:若RnS为7个元组，那么RUS应为18个元组、R-S应为8个元组；答案C的情形:若RnS为4个元组，那么RUS为21个元组、R-S为11个元组是正确的；答案D的情形:若RnS为0个元组，那么RUS为25个元组、R-S为15个元组是正确的。）14.C（解析：条件表达式3＜＂4＂，3表示R的第3个属性，＂4＂表示值。）15.√ 16.C（解析：有相同属性列，A对；参加并交差运算的两个关系要求是相容关系，即两个关系属性个数相同，相应的属性值域相同，B对；D显然对；而C不满足相容关系的条件，值域不同，错误）

17.答：

（1）

EDcaeaedecdc\begin{array}{c|c} \hline E & D \\ \hline c & a \\ \hline e & a \\ \hline e & d \\ \hline e & c \\ \hline d & c \\ \hline \end{array}Eceeed​Daadcc​​

（2）

ABCabcbbc\begin{array}{c|c|c} \hline A & B & C \\ \hline a & b & c \\ \hline b & b & c \\ \hline \end{array}Aab​Bbb​Ccc​​

（3）

ABCDEbbcacbdeacdacaedbeaedaccedbececabdeeadcdebdcd\begin{array}{c|c|c|c|c} \hline A & B & C & D & E \\ \hline \mathrm{b} & \mathrm{b} & \mathrm{c} & \mathrm{a} & \mathrm{c} \\ \hline \mathrm{b} & \mathrm{d} & \mathrm{e} & \mathrm{a} & \mathrm{c} \\ \hline \mathrm{d} & \mathrm{a} & \mathrm{c} & \mathrm{a} & \mathrm{e} \\ \hline \mathrm{d} & \mathrm{b} & \mathrm{e} & \mathrm{a} & \mathrm{e} \\ \hline \mathrm{d} & \mathrm{a} & \mathrm{c} & \mathrm{c} & \mathrm{e} \\ \hline \mathrm{d} & \mathrm{b} & \mathrm{e} & \mathrm{c} & \mathrm{e} \\ \hline \mathrm{c} & \mathrm{a} & \mathrm{b} & \mathrm{d} & \mathrm{e} \\ \hline \mathrm{e} & \mathrm{a} & \mathrm{d} & \mathrm{c} & \mathrm{d} \\ \hline \mathrm{e} & \mathrm{b} & \mathrm{d} & \mathrm{c} & \mathrm{d} \\ \hline \end{array}Abbddddcee​Bbdababaab​Ccececebdd​Daaaaccdcc​Ecceeeeedd​​

（4）

ABCDbbcabdeadacadbeadaccdbeccabdeadcebdc\begin{array}{c|c|c|c} \hline A & B & C & D \\ \hline \mathrm{b} & \mathrm{b} & \mathrm{c} & \mathrm{a} \\ \hline \mathrm{b} & \mathrm{d} & \mathrm{e} & \mathrm{a} \\ \hline \mathrm{d} & \mathrm{a} & \mathrm{c} & \mathrm{a} \\ \hline \mathrm{d} & \mathrm{b} & \mathrm{e} & \mathrm{a} \\ \hline \mathrm{d} & \mathrm{a} & \mathrm{c} & \mathrm{c} \\ \hline \mathrm{d} & \mathrm{b} & \mathrm{e} & \mathrm{c} \\ \hline \mathrm{c} & \mathrm{a} & \mathrm{b} & \mathrm{d} \\ \hline \mathrm{e} & \mathrm{a} & \mathrm{d} & \mathrm{c} \\ \hline \mathrm{e} & \mathrm{b} & \mathrm{d} & \mathrm{c} \\ \hline \end{array}Abbddddcee​Bbdababaab​Ccececebdd​Daaaaccdcc​​

（5）

在关系R中，A可能的取值为{a,b,c,d,e}

a的像集为{（b,c），（d,e）}

b的像集为{（b,c），（d,e）}

c的像集为{（a,b）}

d的像集为{（a,c），（b,e）}

e的像集为{（a,d），（b,d）}

T在（B，C）上的投影为{（b,c），（d,e）}

只有a,b的像集包含了T在（B，C）属性组上的投影，所以R÷T={a,b}。

18.答：

（1）ΠCNO,CNAME(σTNAME=′LIU′(C))\Pi_{\text {CNO, CNAME }}\left(\sigma_{\text{TNAME}={ }^{\prime} \text {LIU}^{\prime}} (\text{C})\right)ΠCNO,CNAME​(σTNAME=′LIU′​(C))

（2）ΠSNO,SNAME(σAGE>23∧SEX=’男’(S))\Pi_{\text {SNO, SNAME }}\left(\sigma_{\text{AGE}>23}\wedge _{\text{SEX='男'}} (\text{S})\right)ΠSNO,SNAME​(σAGE>23​∧SEX=’男’​(S))

（3）ΠCNAME,TNAME(σSNO=′S3′(SC⋈C))\Pi_{\text {CNAME, TNAME }}\left(\sigma_{\text{SNO}={ }^{\prime} \text {S3}^{\prime}} (\text {SC} \bowtie \text{C})\right)ΠCNAME,TNAME​(σSNO=′S3′​(SC⋈C))

或

ΠCNAME,TNAME(σSNO=′S3′(SC)⋈C)\Pi_{\text {CNAME, TNAME }}\left(\sigma_{\text{SNO}={ }^{\prime} \text {S3}^{\prime}} \text {(SC)} \bowtie \text{C}\right)ΠCNAME,TNAME​(σSNO=′S3′​(SC)⋈C)

或

ΠCNAME,TNAME(σSNO=′S3′∧O=O(SC×C))\Pi_{\text {CNAME, TNAME }}\left(\sigma_{\text{SNO}={ }^{\prime} \text {S3}^{\prime}}\wedge _\text{O=O}(\text {SC} \times \text{C})\right)ΠCNAME,TNAME​(σSNO=′S3′​∧O=O​(SC×C))

（4）ΠSNAME(σSEX=′女′∧TNAME=’LIU’(S⋈SC⋈C))\Pi_{\text {SNAME}}\left(\sigma_{\text{SEX}={ }^{\prime} \text {女}^{\prime}} \wedge _\text{TNAME='LIU'}(\text {S} \bowtie \text {SC} \bowtie \text{C})\right)ΠSNAME​(σSEX=′女′​∧TNAME=’LIU’​(S⋈SC⋈C))

或

ΠSNAME(σSEX=′女′(S)⋈SC⋈σTNAME=’LIU’(C))\Pi_{\text {SNAME}}\left(\sigma_{\text{SEX}={ }^{\prime} \text {女}^{\prime}} \text {(S)} \bowtie \text {SC} \bowtie \sigma_\text{TNAME='LIU'}( \text{C})\right)ΠSNAME​(σSEX=′女′​(S)⋈SC⋈σTNAME=’LIU’​(C))

（5） ΠCNO(C)−ΠCNO(σSNAME=′WANG′(S⋈SC))\Pi_{\text {CNO}} \text {(C)} - \Pi_\text {CNO} \left(\sigma_{\text{SNAME}={ }^{\prime} \text {WANG}^{\prime}} (\text {S} \bowtie \text{SC})\right)ΠCNO​(C)−ΠCNO​(σSNAME=′WANG′​(S⋈SC))

或

ΠCNO(C)−ΠCNO(σSNAME=′WANG′(S)⋈SC))\Pi_{\text {CNO}} \text {(C)} - \Pi_\text {CNO} \left(\sigma_{\text{SNAME}={ }^{\prime} \text {WANG}^{\prime}} \text {(S)} \bowtie \text{SC})\right)ΠCNO​(C)−ΠCNO​(σSNAME=′WANG′​(S)⋈SC))

或

ΠCNO(C)−ΠCNO(σSNAME=′WANG′∧S.SNO=SC.SNO(S×SC))\Pi_{\text {CNO}} \text {(C)} - \Pi_\text {CNO} \left(\sigma_{\text{SNAME}={ }^{\prime} \text {WANG}^{\prime}}\wedge _\text{S.SNO=SC.SNO}(\text {S} \times \text{SC})\right)ΠCNO​(C)−ΠCNO​(σSNAME=′WANG′​∧S.SNO=SC.SNO​(S×SC))

（6） ΠCNO,CNAME(C⋈(ΠCNO,SNO(SC)÷ΠSNO(S)))\Pi_{\text {CNO, CNAME }}\left(\text{C} \bowtie (\Pi_{\text {CNO, SNO }}(\text{SC} ) \div \Pi_{\text{SNO}}(\text{S})\right))ΠCNO,CNAME​(C⋈(ΠCNO,SNO​(SC)÷ΠSNO​(S)))

或

ΠCNO,SNO(SC)÷ΠSNO(S)⋈ΠCNO,CNAME(C)\Pi_{\text {CNO, SNO }}(\text{SC} ) \div \Pi_{\text{SNO}}(\text{S}) \bowtie\Pi_{\text {CNO, CNAME }}\left(\text{C}\right)ΠCNO,SNO​(SC)÷ΠSNO​(S)⋈ΠCNO,CNAME​(C)

说明：涉及到全部值时，应用除法，“除数”是全部量。

（7）

ΠSNO,CNO(SC)÷ΠCNO(σTNAME=’LIU’(C))\Pi_{\text {SNO, CNO }}(\text{SC} ) \div \Pi_{\text{CNO}} (\sigma_\text{TNAME='LIU'}(\text{C}))ΠSNO,CNO​(SC)÷ΠCNO​(σTNAME=’LIU’​(C))

19.答：

（1）ΠSNO(σJNO=′J1′(SPJ))\Pi_{\text {SNO}}\left(\sigma_{\text{JNO}={ }^{\prime} \text {J1}^{\prime}} (\text{SPJ})\right)ΠSNO​(σJNO=′J1′​(SPJ))

（2）ΠSNO(σJNO=′J1′∧PNO=’P1’(SPJ))\Pi_{\text {SNO}}(\sigma_{\text{JNO}={ }^{\prime} \text {J1}^{\prime}}\wedge _{\text{PNO='P1'}} (\text{SPJ}))ΠSNO​(σJNO=′J1′​∧PNO=’P1’​(SPJ))

（3）ΠSNO(σJNO=′J1′∧COLOR=’红’(P⋈SPJ))\Pi_{\text {SNO}}(\sigma_{\text{JNO}={ }^{\prime} \text {J1}^{\prime}}\wedge _{\text{COLOR='红'}} (\text{P} \bowtie \text{SPJ}))ΠSNO​(σJNO=′J1′​∧COLOR=’红’​(P⋈SPJ))

（4）ΠJNO(J)−ΠJNO(σCITY=′天津′∧COLOR=’红’(S⋈SPJ⋈P))\Pi_{\text {JNO}} \text {(J)} - \Pi_\text {JNO} \left(\sigma_{\text{CITY}={ }^{\prime} \text {天津}^{\prime}}\wedge _{\text{COLOR='红'}} (\text {S} \bowtie \text{SPJ}\bowtie \text{P})\right)ΠJNO​(J)−ΠJNO​(σCITY=′天津′​∧COLOR=’红’​(S⋈SPJ⋈P))

（5）ΠJNO,PNO(SPJ)÷ΠPNO(σSNO=’S1’(SPJ))\Pi_{\text {JNO, PNO }}(\text{SPJ} ) \div \Pi_{\text{PNO}} (\sigma_\text{SNO='S1'}(\text{SPJ}))ΠJNO,PNO​(SPJ)÷ΠPNO​(σSNO=’S1’​(SPJ))

OK，以上就是本期知识点“关系操作、关系完整性、关系代数”的知识啦~~ ，感谢友友们的阅读。后续还会继续更新，欢迎持续关注哟📌~

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作者：HinsCoder

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