二阶偏微分方程组 龙格库塔法_深度科普---电磁波（三）：无激励下的真空中的Maxwell

很久没有写过与自己专业相关的文章了，于是计划穿插进几篇有关电磁波的深度科普的文章。计划分为几个部分：

1. 真空中的 方程组

2. 材料中的 方程组和电磁场的边值条件

3. 无激励下的真空中的 方程组的解---电磁波（本文章）

4. 稳定状态下的边值条件及其结论

相信大家看完这个系列的文章之后会对电磁波有一定的认识。

zdr0：深度科普---电磁波（一）：真空中的Maxwell方程组​zdr0：深度科普---电磁波（二）：材料中的 Maxwell方程组和电磁场的边值条件​

通过前两篇文章的介绍，相信大家对

方程组有了比较深刻认识，这篇文章中，我们主要想讨论一下在没有外界激励的情况的下 方程组具有何种形式的解。

首先，什么叫做无激励呢？这里的无激励指的是在真空中的

方程组中，空间电荷密度 和电流密度 等于零。这两个物理量之所以称为激励是应为电磁波由它们产生。那为何在两者等于零的情况下 方程组还会有解呢？原因是在激励为零的情况下所解出的解并不是产生的电磁波，而是已经存在的，传播的电磁波---平面波。

现给出真空的无激励的

方程组：

这是一个偏微分方程租，直接求解的话估计做不到。所以为了将这四个方程联系起来我们需要用到旋度算符的一个性质：

对任意矢量场

都有：

我们就利用旋度算符的这个性质将

方程组中的方程联系起来，最终会得到结果：,

：

且：

即：

算符是标量算符，但是在上面我们可以看到，它是作用于矢量场的。所以，每个方程都是由三个标量方程组成的，比如对于 ：

方程

和 属于波动方程类别，一般的一维波动方程为：

其中

是波速。

对于这个形式的波动方程，有一种叫做

行波解的表达方式：

这个解的表达方式并非空穴来风，比如由一下初值确定的解：

：

设：现有一维线性波动方程

以及给定的初值条件：

我们利用 变换法进行求解，首先，现将所给定的初值进行 变换：

其中： 为 方向上的 变换，而 为 方向的 变换。

之后在对整个方程进行 变换：

其中：

于是我们得到了一个二阶常系数线性齐次常微分方程，从而特征方程和特征根为：

进而得到该常微分方程的通解：

则：

代入变换之后的初值条件：

从而得到在此初值条件下的该常微分方程的特解：

利用 变换的卷积性质：

得到：

即：

这里只是其中一种初值问题的通解，对于 解应该是其他形式的初值问题或者边值问题的通解。

那么该如何去理解这个

行波解呢？

为了方便解释，我们再次将

行波解写在下面：对于第一式，可以看做是两个传送波的叠加，这两个传送波分别是向左传播的 和向右传播的 ，且在该式中，参数应是时间 ，因为 的量纲与时间 的量纲一致。比如，若现在在两个确定的时间 和 观察该传送波， 相当于在这段距离上传播了 的距离。对于第二式，可以看做是两个传送波的叠加，这两个传送波分别是向左传播的 和向右传播的 ，且在该式中，参数应是位移 ，因为 的量纲与位移 的量纲一致。比如，若现在在两个确定的位移 和 观察该传送波， 相当于在这段距离上传播了 的时间。

我们现在比较感兴趣的是

和 之间有什么关系？答案是 和 之间是正交的。

：首先，我们设：

值得一说的是虽然上面的四个偏导数都为零，但这并不意味着 都是常数，比如 可以是： 这样 必然等于零。

之后由 我们可以知道： ，也就是说 。也就是说 在波的传播过程中没有贡献，只有所谓的“传播分量” 还存在。

这样的话 就是波的传播方向，且 （这是当然，因为 两个方向本来就是垂直的）。而对于 来讲，前面已经假设了 ，这就意味着 ，同理 ,可以得到的是四个波动方程，比如：

其中： 。 是波速，特别的，在真空中：

现在我们拿到 电磁感应定律： ，代入 有：

由之前的假设我们知道，由于 所以其在任意方向上的偏导数都为 ，而且 且对时间的偏导数也为零。这样，我们就得到了：

即：

这样就说明了 是相互垂直的，且 三者构成右手系。

当

的传播面确定之后就不会在随时间变化了，人们称这种情况为线性偏振波，且规定：和 所构成的平面称为偏振面，一般定义 场的竖直偏振方向是垂直于地面的方向，而其水平偏振方向是平行于地面的方向。对于一个任意的一个波的传播方向 有：在传播方向 上传播的电磁波 的相与传播方向有关，且与 垂直的平面称为传播面，在空间中是不变的。对于行进波： 构成右手系。当然，不是说这三个量随便排就可以，下一篇文章中会具体讨论。

对于一个稳定的，单色光的解是一个正弦或余弦型函数。这样的稳态解可以利用下面的复函数的形式进行表示：

上式是一维的情况。上式中的

可以是 或 。我们来看看这个稳态解都告诉了我我们什么：振幅 角频率 波矢量 和传播方向

也就是说上面的这个稳态解其实只对应于一维的情况，当然你也许发现了，上面的波矢量

并不是一个矢量，所以，对于三维的情况而言，应当把 变成 ，即：

从上面可以看出： 的方向就是 的方向，也就是传播方向。这对于一维的情况也是通用的，即： 。

而

。对于 的确定，我们只需要将上式带入到 的波动方程中便可得到：

其中：

为波矢量的模， 为波速， 为角频率， 为频率， 为波长。且对对于波长：

在介质中有：

其中：

为真空中光速， 为真空中的波矢量的模， 称为折射率。

在材料中，折射率一般是复数，即：

，那这个复数的折射率有何意义呢？结论是复折射率的复数部分会使振幅衰减，即能量会有损矢。

：

假设平面波沿 方向传播，则有：

从而定义：

即有：

显然，虚数部分在衰减因子 中。即振幅 按指数规律衰减。

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