实现主成分分析和白化

在这一节里，我们将总结PCA, PCA白化和ZCA白化算法，并描述如何使用高效的线性代数库来实现它们。

首先，我们需要确保数据的均值（近似）为零。对于自然图像，我们通过减去每个图像块(patch)的均值（近似地）来达到这一目标。为此，我们计算每个图像块的均值，并从每个图像块中减去它的均值。（译注：参见PCA一章中“对图像数据应用PCA算法”一节）。Matlab实现如下：

avg = mean(x, 1); % 分别为每个图像块计算像素强度的均值。 x = x - repmat(avg, size(x, 1), 1);

下面，我们要计算 ，如果你在Matlab中实现（或者在C++, Java等中实现，但可以使用高效的线性代数库），直接求和效率很低。不过，我们可以这样一气呵成。

sigma = x * x' / size(x, 2);

（自己推导一下看看）这里，我们假设x为一数据结构，其中每列表示一个训练样本（所以x是一个 × 的矩阵）。

接下来，PCA计算 Σ 的特征向量。你可以使用Matlab的eig函数来计算。但是由于Σ 是对称半正定的矩阵，用svd函数在数值计算上更加稳定。

具体来说，如果你使用

[U,S,V] = svd(sigma);

那矩阵U将包含Sigma的特征向量（一个特征向量一列，从主向量开始排序），矩阵S 对角线上的元素将包含对应的特征值（同样降序排列）。矩阵 等于 的转置，可以忽略。

（注意svd函数实际上计算的是一个矩阵的奇异值和奇异向量，就对称半正定矩阵的特殊情况来说，它们对应于特征值和特征向量，这里我们也只关心这一特例。关于奇异向量和特征向量的详细讨论超出了本文范围。）

最后，我们可以这样计 算 和 ：

xRot = U' * x; % 数据旋转后的结果。 xTilde = U(:,1:k)' * x;% 数据降维后的结果，这里k希望保留的特征向量的数目。

这以 的形式给出了数据的PCA表示。顺便说一下，如果x是一个包括所有训练数据的 × 矩阵，这也是一种向量化的实现方式，上面的式子可以让你一次对所有的训练样本计算出xrot 和 。得到的xrot 和 中，每列对应一个训练样本。

为计算PCA白化后的数据 ，可以用

xPCAwhite = diag(1./sqrt(diag(S) + epsilon)) * U' * x;

因为S的对角线包括了特征值 ，这其实就是同时为所有样本计算 的简洁表达。

最后，你也可以这样计算ZCA白化后的数据:

xZCAwhite = U * diag(1./sqrt(diag(S) + epsilon)) * U' * x;

中英文对照

主成分分析 Principal Components Analysis (PCA)白化 whitening均值为零 zero-mean均值 mean value特征值 eigenvalue特征向量 eigenvector对称半正定矩阵 symmetric positive semi-definite matrix数值计算上稳定 numerically reliable降序排列 sorted in decreasing order奇异值 singular value奇异向量 singular vector向量化实现 vectorized implementation

对角线 diagonal

from: http://ufldl.stanford.edu/wiki/index.php/%E5%AE%9E%E7%8E%B0%E4%B8%BB%E6%88%90%E5%88%86%E5%88%86%E6%9E%90%E5%92%8C%E7%99%BD%E5%8C%96