本节讲述什么是标准正交基、为什么需要标准正交基以及如何获得标准正交基。
标准正交基需要两个要素：正交(orthogonal 垂直)和标准（normal 长度为1）。如果只是正交的基，而向量长度不为1，则称为orthogonal bases。
定义：如果向量
是标准正交(orthonormal)的，则有
为什么要标准正交？
是回想平面直角坐标系
-plane，它的基是 完美符合标准正交基的上述要求。
首先，我们在绘图和理解的时候有优势。因为每条轴都相互垂直，互不干扰。（加密通话大雾）
性质一
其次，把这些列向量写成矩阵的形式可得
然后 就是单位矩阵 了， ，这对缩减计算量很有帮助。如果本身已经是对角矩阵感知不强的话，不如试试旋转矩阵Rotation Matrix 和permutation matrix。此处的向量不要求必须是方阵。（若要证明 只需要把 矩阵拆写成列向量乘以行向量的 形式就能得到。）
如果不是标准正交基，而只有正交，那么
的结果就是对角矩阵(diagonal matrix)，但不是单位矩阵( for identity matrix)。
性质二
因为
且 所以 这是判断标准正交基或者说标准正交矩阵(orthonormal matrix)的方法。用下面的例子验证一下：
反射矩阵：假设有一个单位向量
要把目标沿着 镜像，就要用到 首先这是个对称矩阵(symmetric matrix)，因此 接着因为把某向量沿着 镜像一次和镜像回去 的结果完全相同，因此可知 注意，反射矩阵的操作比较特殊，而正常的标准正交矩阵没有 这样的操作，更不要说去证明 了。
性质三 把向量投影在标准正交基上
把一个向量投影在标准正交基上是一件很幸福的事，就像
计算量能大幅削减。如果把 换成 我们能得到的是 且投影矩阵(projection matrix)是 所以 当 时， 这就可以视为一种空间内的分解。
Gram-Schmidt 正交化求正交基
这个算法保证你把一对向量转化成标准正交向量，共有两大步。假设有不平行向量
我们需要先得到正交的向量 再求它们的单位向量
首先，把向量转化成正交的形式，从第二个向量起，后续的向量剥离前向量包括的“维度“。从
开始，也就是说，我们要把 减掉它在 中的投影 以此类推， 必须剥离已经被用过的两个维度，即
然后，我们求出
的单位向量就可以了。
A=QR分解
可以把Gram-Schmidt正交化理解为一种分解，对于这三个向量的矩阵
写成QR分解的形式。 矩阵曾经提到过，它是上三角矩阵。
Reference
Strang, G. ().Introduction to linear algebra(Fifth ed.).
往期回顾：
Jerry：线性代数（十四）最小二乘
Jerry：线性代数（十三）投影
Jerry：线性代数（十二）四个子空间的正交性
Jerry：线性代数（十一）四个子空间的维度
Jerry：线性代数（十）Ax=b的完整解
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