本节讲述什么是标准正交基、为什么需要标准正交基以及如何获得标准正交基。
标准正交基需要两个要素:正交(orthogonal 垂直)和标准(normal 长度为1)。如果只是正交的基,而向量长度不为1,则称为orthogonal bases。
定义:如果向量
是标准正交(orthonormal)的,则有
为什么要标准正交?
是回想平面直角坐标系
-plane,它的基是 完美符合标准正交基的上述要求。
首先,我们在绘图和理解的时候有优势。因为每条轴都相互垂直,互不干扰。(加密通话大雾)
性质一
其次,把这些列向量写成矩阵的形式可得
然后 就是单位矩阵 了, ,这对缩减计算量很有帮助。如果本身已经是对角矩阵感知不强的话,不如试试旋转矩阵Rotation Matrix 和permutation matrix。此处的向量不要求必须是方阵。(若要证明 只需要把 矩阵拆写成列向量乘以行向量的 形式就能得到。)
如果不是标准正交基,而只有正交,那么
的结果就是对角矩阵(diagonal matrix),但不是单位矩阵( for identity matrix)。
性质二
因为
且 所以 这是判断标准正交基或者说标准正交矩阵(orthonormal matrix)的方法。用下面的例子验证一下:
反射矩阵:假设有一个单位向量
要把目标沿着 镜像,就要用到 首先这是个对称矩阵(symmetric matrix),因此 接着因为把某向量沿着 镜像一次和镜像回去 的结果完全相同,因此可知 注意,反射矩阵的操作比较特殊,而正常的标准正交矩阵没有 这样的操作,更不要说去证明 了。
性质三 把向量投影在标准正交基上
把一个向量投影在标准正交基上是一件很幸福的事,就像
计算量能大幅削减。如果把 换成 我们能得到的是 且投影矩阵(projection matrix)是 所以 当 时, 这就可以视为一种空间内的分解。
Gram-Schmidt 正交化求正交基
这个算法保证你把一对向量转化成标准正交向量,共有两大步。假设有不平行向量
我们需要先得到正交的向量 再求它们的单位向量
首先,把向量转化成正交的形式,从第二个向量起,后续的向量剥离前向量包括的“维度“。从
开始,也就是说,我们要把 减掉它在 中的投影 以此类推, 必须剥离已经被用过的两个维度,即
然后,我们求出
的单位向量就可以了。
A=QR分解
可以把Gram-Schmidt正交化理解为一种分解,对于这三个向量的矩阵
写成QR分解的形式。 矩阵曾经提到过,它是上三角矩阵。
Reference
Strang, G. ().Introduction to linear algebra(Fifth ed.).
往期回顾:
Jerry:线性代数(十四)最小二乘
Jerry:线性代数(十三)投影
Jerry:线性代数(十二)四个子空间的正交性
Jerry:线性代数(十一)四个子空间的维度
Jerry:线性代数(十)Ax=b的完整解
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