1. 问题描述

子串应该比较好理解，至于什么是子序列，这里给出一个例子：有两个母串

cnblogsbelong

比如序列bo, bg, lg在母串cnblogs与belong中都出现过并且出现顺序与母串保持一致，我们将其称为公共子序列。最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS），顾名思义，是指在所有的子序列中最长的那一个。子串是要求更严格的一种子序列，要求在母串中连续地出现。在上述例子的中，最长公共子序列为blog（cnblogs,belong），最长公共子串为lo（cnblogs, belong）。

2. 求解算法

对于母串\(X = < x_1, x_2, \cdots , x_m >\), \(Y = < y_1, y_2, \cdots , y_n >\)，求LCS与最长公共子串。

暴力解法

假设 \(m < n\)， 对于母串\(X\)，我们可以暴力找出\(2^m\)个子序列，然后依次在母串\(Y\)中匹配，算法的时间复杂度会达到指数级\(O(n*2^m)\)。显然，暴力求解不太适用于此类问题。

动态规划

假设\(Z =< z_1, z_2, \cdots , z_k >\)是\(X\)与\(Y\)的LCS， 我们观察到

如果\(x_m = y_n\)，则\(z_k = x_m = y_n\)，有\(Z_{k-1}\)是\(X_{m-1}\)与\(Y_{n-1}\)的LCS；如果\(x_m \ne y_n\)，则\(Z_{k}\)是\(X_{m}\)与\(Y_{n-1}\)的LCS，或者是\(X_{m-1}\)与\(Y_{n}\)的LCS。

因此，求解LCS的问题则变成递归求解的两个子问题。但是，上述的递归求解的办法中，重复的子问题多，效率低下。改进的办法——用空间换时间，用数组保存中间状态，方便后面的计算。这就是动态规划（DP)的核心思想了。

DP求解LCS

用二维数组c[i][j]记录串\(x_1x_2 \cdots x_i\)与\(y_1y_2\cdots y_j\)的LCS长度，则可得到状态转移方程

\[ c[i,j] = \left\{ {\matrix{ 0 & {{i = 0 \rm{\ or \ }j = 0}} \cr {c[i - 1,j - 1] + 1} & {{i, j > 0 \rm{\ and\ } \ }{{x}}_i} = {y_j} \cr {\max ({c[i, j - 1], c[i - 1, j])}} & {{i, j > 0 \rm{\ and\ }}{{\rm{x}}_i} \ne {y_j}} \cr } } \right. \]

代码实现

public static int lcs(String str1, String str2) {int len1 = str1.length();int len2 = str2.length();int c[][] = new int[len1+1][len2+1];for (int i = 0; i <= len1; i++) {for( int j = 0; j <= len2; j++) {if(i == 0 || j == 0) {c[i][j] = 0;} else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) {c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;} else {c[i][j] = max(c[i - 1][j], c[i][j - 1]);}}}return c[len1][len2];}

DP求解最长公共子串

前面提到了子串是一种特殊的子序列，因此同样可以用DP来解决。定义数组的存储含义对于后面推导转移方程显得尤为重要，糟糕的数组定义会导致异常繁杂的转移方程。考虑到子串的连续性，将二维数组\(c[i,j]\)用来记录具有这样特点的子串——结尾为母串\(x_1x_2 \cdots x_i\)与\(y_1y_2\cdots y_j\)的结尾——的长度。

得到转移方程：

\[ c[i,j] = \left\{ {\matrix{ 0 & {i = 0 \rm{\ or\ }j = 0} \cr {c[i - 1,j - 1]+1} & {{x_i} = {y_j}} \cr 0 & {{x_i} \ne {y_j}} \cr } } \right. \]

最长公共子串的长度为 \(max(c[i,j]), \ i\in \lbrace 1,\cdots, m \rbrace, j\in \lbrace 1,\cdots,n \rbrace\)。

代码实现

public static int lcs(String str1, String str2) {int len1 = str1.length();int len2 = str2.length();int result = 0;//记录最长公共子串长度int c[][] = new int[len1+1][len2+1];for (int i = 0; i <= len1; i++) {for( int j = 0; j <= len2; j++) {if(i == 0 || j == 0) {c[i][j] = 0;} else if (str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1)) {c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;result = max(c[i][j], result);} else {c[i][j] = 0;}}}return result;}

3. 参考资料

[1] cs2035, Longest Common Subsequence.

[2] 一线码农, 经典算法题每日演练——第四题 最长公共子序列.

[3] GeeksforGeeks, Dynamic Programming | Set 29 (Longest Common Substring).